第二章二进制

第二章二进制同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留惦一下，在我们日常生活中，不仅使用十进制还使用其他许多进制呢！你信不信？我举一些例子。两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……。怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。1、什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制是11；4写成二进制数便是100，那么5呢？应该是101。同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：表1十进制二进制十进制二进制12345678110111001011101111000910111213141516100110101011110011011110111110000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。表20与1白与黑虚与实负与正点与划小与大１１０１●●○●－－…－＋＋－＋――·－○○о○当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数和在二进制中要比在十进制中位数多得多。２、十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1997时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即1997＝1×1000＋9×100＋9×10＋7×1也就是说，1997中含有一个1000，九个100，九个10与七个1。在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律；二进制数100000应该表示十进制数32，…。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是10110＝1×16＋0×8＋1×4＋1×2＋0×1明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，我约定：用（）2表示括号内写的数是二进制数。如（1011）2；用（）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。例1把（10110）2改写成十进制数＝（22）10例2把（1110101）2改写成十进制数。【分析】因为位数太多，我们先从低位写起解：（1110101）2＝1×1＋0×2＋1×4＋0×8＋1×16＋1×32＋1×64＝1＋4＋16＋32＋64＝（117）10从上面两道例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的2倍。一个二进制的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。再看一遍。例3将（110100111）2改写成为十进制数。【分析】还是由低位写起解：（110100111）2＝1×1＋1×2＋1×4＋0×8＋0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256＝1＋2＋4＋32＋128＋256＝（423）10下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。例4把（60）10改写成二进制数。解：（60）10＝32＋28＝32＋16＋12＝32＋16＋8＋4＝32＋16＋8＋4＋0×2＋0×1＝（111100）2说明：从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。例5把（45）10改写成二进制数。【分析】（45）10不足64，所以它对应的二进制数的最高位是32，即45＝32＋13，剩下的13不足16，则向下一位考虑。45＝32＋0×16＋（8＋5），剩下的5中包含一个4，即45＝32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位数是1，又不足2，所以对应的二进位数又空一位。解：（45）10＝32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1＝（101101）2练一练：（1）将（31）10改写成二进制数；（2）将（78）10改写成二进制数；下面我们再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法——除二倒取余法。例如要将（71）10写成二进制数，参见右式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商17除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即（71）10＝（1000111）2例6用除二倒取余法将(38)10写成二进制数解：∵238……0219……129……124……01……1∴（38）10＝（100110）2例7用两种方法将（107）10改写成二进制数。解：方法一（107）10＝64＋43＝64＋32＋11＝64＋32＋0×16＋8＋3＝64＋32＋0×16＋8＋0×4＋2＋1＝（1101011）2方法二2107……1253……1226……0213……126……023……11……1例8计算：①（11010）2＋（1111）2②（1110010110）2＋（101110111）2③（11011011）2＋（1110）2＋（1011011）2④（1101）2－（1010）2⑤（1101101）2－（1010110）2⑥（1000000）2－（10011）2－（101101）2【分析与解】①１１０１０＋１１１１271……1235……1217……128……024……022……01……1１０１００１从而：（11010）2＋（1111）2＝（101001）2②１１１００１０１１０＋１０１１１０１１１１０１００００１１０１∴（1110010110）2＋（101110111）2＝（10100001101）2③１１０１１０１１１１１０＋１０１１０１１１０１０００１００从而：（11011011）2＋（1110）2＋（1011011）2＝（101000100）2④１１０１－１０１０００１１∴（1101）2－（1010）2＝（11）2⑤１１０１１０１－１０１０１１０１０１１１∴（1101101）2－（1010110）2＝（10111）2⑥１００００００－１００１１１０１１０１又１０１１０１－１０１１０１０∴（1000000）2－（10011）2－（101101）2＝（0）2注：二进制的乘法的特点是：“1乘任何数仍是原数”，“0乘任何数都得0”；二进制除法也有整除和非整除之分，整除时，有关系式：被除数＝除数×商不能整除时，有关系式初除数＝除数×商＋余数当对二进制数进行混合运算时，其顺序与十进制数完全相同。例9计算：①（110110）2×（10111）2②（110110）2÷（110）2③（101101）2÷（111）2④[（1110）2＋（1010）2]＋（100001）2÷（1011）2【分析与解】①１１１０１１０×１０１１１１１１０１１０１１１０１１０１１１０１１０＋１１１０１１０１０１０１００１１０１０∴（110110）2×（10111）2＝（101010011010）2②１００１１１０１１０１１０１１０１１０１１００∴（110110）2÷（110）2＝（1001）2③１１０１１１１０１１０１１１１１０００１１１１１∴（101101）2÷（111）2＝（110）2……（11）2④[（1110）2＋（1010）2]＋（100001）2÷（1011）2＝（11000）2＋（11）2＝（11011）2例10证明218－1能被7整除。【分析】∵（218－1）10＝（1018000个）2－（1）2＝（118111个）2而（7）10＝（111）2，故有218－1÷7＝（11……1）2÷（111）2＝（1001001001001001）2由二进制数表示的整除关系知，218－1能被7整除。例11若m、n是两个自然数，且n2，那么2m＋1不能被2n－1整除，试说明原因。【分析】与例10相同，也先将所给式表示为二进制数，然后再利用二进制数的除法运算即可。想：∵2m＋1＝（101000个m1）2，2n－1＝（11111个n）2若n≥m＋1，显然2m＋1不能被2n－1整除；茹n＜m＋1，两数相除可以用下面竖式表示：１０…１１１……１１０００…００…０…１１１１……１１００…０１１…１１０…１从上面的算式可以看出，每次的余数都是100…01形式，而除数为11……1，故不能整除。例12求证：215－214＋213－212＋211－210＋29－28＋…＋2－1能被5整除。【分析】仍然使用例10，例11的分析方法，先化为二进制数。想：由于215－214＋213－212＋211－210＋…＋2－1＝（215＋213＋211＋29＋…21）10－（214＋212＋210＋28＋…20）2＝（1010101010101010）2－（101010101010101）2＝（101010101010101）2而：（5）2＝（101）2所以（101010101010101）2能被（101）2整除，故：215－214＋213－212＋…＋2－1能被5整除。例13现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各一枚，问天平上能称出多少不同的重量？【分析】所给砝码恰好是二进制中从小到大的五个计数单位，所以可考虑应用二进制知识来解决。用这些砝码称重量时，如果用了1克的砝码，就在二进制数的右数第一位写1，否则写0；如果用了2克的砝码，就在二进制数的右数第二位写1，否则写0；依次类推，这表明所称的每个重量都可用二进制表示，反过来，用这五个砝码所能称出的最大重量是1＋2＋4＋8＋16＝31（克）而不超过31的数都可用一个不超过5位的二进制数来表示，所以，一共能称出31种不同的重量。例14将六张数字卡片按一定顺序排列成如下表，你只要依次（从左到右）从六张卡片上报出有没有你的年龄数（若其中一张卡片上有你的年龄数，就说“有”，否则就说个“无”），那么待你全部报完，我们就能猜出你的年龄数，为什么？323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626316171819202122232425262728293031484950515253545556575859606162638910111213141524252627282930314041424344454647565758596061626345671213141520212223282930313637383944454647525354556061626323671011141518192223262730313435383942434647505154555859626313579111315171921232527293133353739414345474951535557596163（1）（2）（3）（4）（5