第二章函数2-6幂函数与函数的图象变换

第2章第6节一、选择题1．(文)设α∈－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]由f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴α0y＝x－2＝1x2是偶函数，y＝x－12＝1x，在定义域(0，＋∞)上是非奇非偶函数，y＝x－1是奇函数，∴α＝－1，∴选A.(理)幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x12的图象经过的“区域”是()A．⑧，③B．⑦，③C．⑥，①D．⑤，①[答案]D2．(09·福建)下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1xC．f(x)＝|x|D．f(x)＝ex[答案]A[解析]∵y＝1x的定义域为(0，＋∞)．故选A.3．(文)(09·安徽)设ab，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是()[答案]C[解析]解法一：当xb时，y0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿过偶次不穿可知，只有C正确，故选C.解法二：∵y＝(x－a)2(x－b)，ab，∴xb时，y0，排除A、B；axb时，y0，排除D，故选C.(理)(2010·山东日照一中)函数y＝ln1|2x－3|的大致图象为()[答案]A[解析]易知2x－3≠0，即x≠32，排除C，D项．当x32时，函数为减函数，当x32时，函数为增函数，所以选A.4．函数f(x)＝4x－4x≤1x2－4x＋3x1的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是()A．4B．3C．2D．1[答案]B[解析]由图象易知有3个交点．5．(文)(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()[答案]B[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.(理)(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()[答案]A[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.6．(2010·山东泰安质检)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x0，则f(x)0；④若x0，则f(x)1.其中正确的命题是()A．②③B．①④C．②④D．①③[答案]B[解析]将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象．∵在y＝f(x＋1)的图象上，当x－1时，f(x)1，∴在y＝f(x)的图象上，当x0时，f(x)1，∵y＝f(x＋1)的图象过点(－1,1)，∴f(0)＝1，故选B.7．(2010·温州十校联考)函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为()A．2B.23C.13D．1[答案]B[解析]由题可知函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，当f(x)＝0时x＝1，当f(x)＝1时x＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b－a的最小值为23.故选B.8．(2010·湖南理，8)有min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．1[答案]D[解析]如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t＝1.9．若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图，则f(x)·g(x)的图象可能是()[答案]C[解析]由f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知f(x)·g(x)为奇函数，x∈(－3,0)时，f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(x)0，故选C.10．(文)(2010·山东济南、芜湖十二中)函数y＝x|x|·ax(a1)的图象的基本形状是()[答案]A[解析]当x0时，y＝ax(a1)为增函数，当x0时，y＝－ax(a1)，为减函数，故选A.(理)(2010·山东省实验中学)设函数f(x)＝ax＋bx2＋c的图象如图，则a、b、c满足()A．abcB．acbC．bacD．bca[答案]D[解析]f(x)的图象关于y轴对称，∴a＝0，∵y＝x2＋c在(0，＋∞)上单增，又f(x)＝bx2＋c在(0，＋∞)上单减，且f(x)定义域为R，∴b0，c0，又f(0)＝bc1，∴bc，故选D.二、填空题11．(文)(2010·通州市模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点2，12，则f12的值为________．[答案]2[解析]设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点2，12，∴12＝2α，∴α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f12＝12－1＝2.(理)(2010·芜湖十二中)幂函数y＝f(x)的图象经过点－2，－18，则满足f(x)＝27的x的值是______．[答案]13[解析]∵f(x)＝xα过点－2，－18，∴(－2)α＝－18，∴α＝－3.由f(x)＝27得，x－3＝27，∴x＝13.12．函数y＝x3与y＝12x－2的图象交点为(x0，y0)，x0所在区间是(a，b)，a、b为相邻的整数，则a＋b＝______.[答案]3[解析]∵y1＝x3单调增，y2＝12x－2单调减，当x＝1时，y1＝1，y2＝2，y1y2；当x＝2时，y1＝8，y2＝1，y1y2，∴两函数图象交点坐标x0∈(1,2)，故a＝1，b＝2，a＋b＝3.13．若f(x)＝ax＋2x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案]a1[解析]f(x)＝ax＋2x＋2＝ax＋2＋21－ax＋2＝21－ax＋2＋a.∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，∴1－a0，即a1.14．(2010·常德市调研)设P表示使幂函数y＝xc2－5c＋6在(0，＋∞)上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x－1|＋|x－2c|1对任意x∈R恒成立的c的集合，则P∩Q＝________.[答案](－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)[解析]∵幂函数y＝xc2－5c＋6在(0，＋∞)上是增函数，∴c2－5c＋60，即P＝(－∞，2)∪(3，＋∞)，又不等式|x－1|＋|x－2c|1对任意x∈R恒成立，∴|2c－1|1，∴c1或c0，即Q＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，∴P∩Q＝(－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)．三、解答题15．已知函数f(x)＝x13－x－135，g(x)＝x13＋x－135.(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的不等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x13－－x－135＝－x13－x－135＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．设x1x2，x1，x2∈(0，＋∞)，则f(x1)－f(x2)＝x131－x－1315－x132－x－1325＝15(x131－x131)(1＋1x131·x132)，因为x131－x1320,1＋1x131·x1320，所以f(x1)－f(x2)0.故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝x23－x－235－5·x13－x－135·x13＋x－135＝15(x23－x－23)－15(x23－x－23)＝0.16．(文)(北京丰台)已知函数g(x)＝(a－2)x(x－1)，函数f(x)＝ln(1＋x)＋bx的图象如图所示．(1)求b的值；(2)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间．[解析](1)f′(x)＝11＋x＋b，由题图可知f′(－0.5)＝0⇒b＝－2.(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－2x－(a－2)x＝ln(1＋x)－ax.F′(x)＝11＋x－a.令F′(x)＝11＋x－a0，因为x＋10，所以ax1－a.当a0时，F′(x)0⇒－1x1a－1，故函数F(x)的单调增区间是－1，1a－1，单调减区间是1a－1，＋∞.当a≤0时，F′(x)0在(－1，＋∞)上恒成立，故函数F(x)的单调增区间是(－1，＋∞)；综上所述：当a0时，函数F(x)的单调增区间是－1，1a－1，单调减区间是1a－1，＋∞.当a≤0时，函数F(x)的单调增区间是(－1，＋∞)．(理)(2010·山东滨州质检)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)且幂函数g(x)＝xm2－m－2(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．[解析](1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，2)，∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)g(x)得，x21，∴x1或x－1.故x1或x－1时，f(x)g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1x0或0x1时，f(x)g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)g(x)得，x21x2，∴x41，∴x1或x－1，故当x1或x－1时，有f(x)g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1x0或0x1时，f(x)g(x)．综上知，x1或x－1时，f(x)g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1x0或0x1时，f(x)g(x)．17．(文)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤x＋122.(1)求f(1)的值；(2)证明a0，c0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.[解析](1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤1＋122＝1，∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，a－b＋c＝0，∴b＝12.∴a＋c＝12.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－12x＋c≥0对x∈R恒成立，∴a0Δ≤0，∴a0ac≥116，∴c0，故a0，c0.(3)证明：∵a＋c＝12，ac≥116，由a0，c0及a＋c≥2ac，得ac≤116，∴ac＝116，当且仅当a＝c＝14时，取“＝”．∴f(x)＝14x2＋12x＋14.∴g(x)＝f