第二章复变函数的积分

第二章：复变函数的积分第1节复变函数的积分设fz在复平面上的光滑曲线l上连续。若将l分成n段，其中第k小段为,1kkzz。在该小段上任取一点k，若和式：11nkkkifzz（1）在当n，10kkzz时的极限存在则这个和式的极限就称为fz在l上的路积分。记作：110limnkkkilzfzdzfzz（2）,zxiyfzuivllfzdzuivdxiyuivdxidylludxvdyivdxudy（3）也分为实部和虚部其积分法可用实度函数积分法测：例1、试计算111RellIzdzxdz和22RelIzdz。其中1l和2l的路径如图。起始点相同；解：''''''111111.llllIxdxidy110012xdxidyi'222llI=100xdx=12由此可见，一般在复变函数中，即使被积函数和积分起终点相同，但沿不同的路径，积分值是不一样的。第2节柯西定理以上，我们知道，一般复变函数的积分与路径有关。但有特例——解析函数在“单通域”内积分就与路径无关一、单通域与单通域柯西定理1、单通域（单连通域）任意两点间连线上所有点均属于该域（无孔隙）函数在闭域内的点上处处解析的域——单通域2、单通域的柯西定理若fz在单通域B上解析，是B上一分常光滑闭合曲线，则：0lfzdz（1）证：lllfzdzuivdxiyuivdxidylludxvdyivdxudy（2）利用格林公式：lDQPPdxQdydxdyxy则由（2）得：lDDvuuvfzdzdxdyidxdyxyxy（3）又由C-R条件：uvxy，vuxy0lfzdz二、复连通与复通通柯西定理1、复通域若域内存在奇点，可作一些半径适当的闭合曲线将这些奇点分离开，剩下的这些带孔的区域称为复连通区域。简而言之，只要有一个有不属于闭合曲线所围区域内的点，这样的区域就称为复连通区域。2、复通域的柯西定理若fz是闭复通域上的单值解析函数，l为区域的外境界线，诸il为区域内境界线，则有：10inillfzdzfzdz（4）其中，积分均沿境界线的正向进行。境界线：规定：沿境界线正向前进时，区域总在观察者左方。内境界线：即将奇点挖去的那些闭合曲线。证明：以一个奇点的情况为例：（如图：）设'l是挖去奇点的内境界线，l为外境界线，若想用“剪子”沿AB剪开，使内外境线相连，于是该多连通域就变为单连域了。此时有（由单连域柯西定理）：''0ABllBAfzdzfzdzfzdzfzdz(5)但''ABBAfzdzfzdz（同一路径积分反向相反）'0llfzdzfzdz（6）与（4）吻合同理可证明挖去几个奇点的多连通域。小结：1、闭单通域上的解析函数沿境界线（或域内任一单闭曲线）积分为零。2、闭复通域上的解析函数沿所有内外境界线正方向闭积分和为零。3、闭复通域上的解析函数沿外境界线积分等于所有内境界线沿逆时针方向闭积分之和4、解析函数在单通域或复通域上的积分与路径无关（只与起始、终点有关）。第3节不定积分一、不定积分的意义由上节第4点（小结），若始点固定、终点为任意的，则：在连通域上21zzFzfd（1）就定义了一个单值解析函数；并称Fz是fz的一个原函数。且有：2121zzfdFzFz（2）（2）式表明：解析函数的路径积分等于其原函数的改变量。二、一个重要的积分：考察积分：nlIzdz（1）其中：n整数：2,1,0,1,2mm此积分可分两种情况：1、l不包围点（即l围域不含点），则被积分函数nfzz在l所围区域是解析的,此时有02dzz2.若l围域含有，则又分两种情况：（1）当n0时，2zzf在l围域是解析函数：0dzzf。2当n0时，2zzf在l围域不是解析函数。但由上节知识，可以为圆心。R为半径作一回路c（将挖去）。于是上述积分可划为：dzzdzzncnl（2）在c上，izRediddziiReRelcnndzzdzzI2110.ReinninincReidiRed（a）若.1n则：111ninenRI|020（b）若,1n则：210inIiedi综上所述：lnndzz1,0lllidzz不围，围0,21或：lnndzz1,0i21lllzdzi包围不包围,1,0212.4柯西公式一．柯西公式：若()fz在闭单通区域B上解析，l为B的边界线，a为B内的任一点，则有柯西公式：1()()2lfzfadziza（1）亦可写为：001()()2lfzfzdzizz（2）二．证明：由上节知：0()1()()22ifadzfafadzizaiza（3）由（1）—（3）得：1()()02lfzfadziza（4）显然若（4）成立，则（1）成立一般函数()()fzfawza在za处不连续（a是w的奇点）所以可以a为心（任意小）为半径作圆c由（第二节）柯西定律：1()()1()()22cfzfafzfadzdzizaiza（5）abab20()()maxf(z)-f(a)()()max()()2icfzfafzfadzdzedfzfazaza若令za即0，()()fzfa0limmax()().20fzfa即（5）左边=0（而左边与无关）.所以（4）成立三．柯西公式的一般表示：由于a是任意的，可令az。此时zg（作为积分变量），则柯西公式可表示为：1()()2lfgfzdgigz(6)另：!()()()2()nnnnldnfgfzfzdgdzigz（7）柯西公式的一个重要应用是：（1）式的右边，若被积函数可写为()fzza则积分可直接得出2()ifa（被积函数是()gz是只要能设法变换为()fzza即可用柯西公式求解）作业：（1）求：()nzadz（2）求：22dzza