第二章多面体与旋转体棱锥圆锥的体积

高中立体几何教案第二章多面体与旋转体棱锥、圆锥的体积教案教学目标1．使学生掌握棱锥、圆锥的体积公式及初步运用进行锥体体积运算；2．使学生进一步树立联系转化的数学思想，进一步提高逻辑推理和图形变换的能力；3．通过本节课教学使学生思维品质（如思维的深刻性、灵活性）受到锻炼．教学重点和难点棱锥、圆锥体积公式推导为重点，以联系转化为主线推导棱锥、圆锥体积公式的过程为难点．教学设计过程师：今天我们研究的课题是棱锥、圆锥的体积．已知：锥体的底面积为S，高为h．求：V锥体=？（板书课题）这些锥体可以是三棱锥、四棱锥、五棱锥……还可以是圆锥．（教师一边说一边出示小黑板——图1）师：对于这个课题我们要解决二个问题：1．底面积是S，高是h的锥体体积公式是什么？2．如何推导这个公式？怎么推导锥体体积公式呢？（学生思考片刻后，教师继续引导）师：能不能用体积单位去量？（引导学生从几何体体积度量方法入手考虑问题）生：（摇头示意不成）师：还有什么方法？生：能不能利用祖暅原理？师：是一种方案，如果想用祖暅原理就需要用我们已经知道了体积公式的几何体来比，用哪种几何体呢？生：柱体．师：这些柱体可以是三棱柱、四棱柱、五棱柱……，还可以是圆柱．（出示第二块小黑板——图2）师：为了用祖暅原理，我们选这些柱体底面积为S，高为h，于是这两类几何体都可以夹在两个平行平面间，满足祖暅原理第一条，然后用平行于这两个平行平面的平面去截这些几何体，分别得到截面，这时锥体的截面积与柱体的截面积相等吗？生：不相等．师：为什么？生：柱体的截面与柱体底面全等，所以柱体的截面积为S，而锥体的截面与柱体的底面相似，所以锥体截面积不等于S．师：说得很好，这说明没有满足祖暅原理的第二个条件，因此利用祖暅原理也不可能了，怎么办？（学生感到困惑，教师引导鼓励学生思考）师：我们不妨调整一下思路，刚才只说了这些锥体的截面积不等于S，这些截面之间又有什么关系？生：这些锥体截面积相等．师：能证明吗？（学生口述，教师板书）又因为这些锥体的底面积，高、顶点到截面距离分别相等．所以这些锥体的截面积相等．师：由我们得到的这些锥体的条件，可以得出什么结论？生：这些锥体体积相等．师：根据什么得出这个结论？生：根据祖暅原理．师：谁能概括一下我们得到这个命题．生：夹在两个平行平面间，底面积相等的锥体体积相等．师：很好，但可以再简练些．能夹在两个平行平面间说明这些几何体高相等，最后概括为（板书）定理1等底面积等高的两个锥体体积相等．师：虽然祖暅原理不能帮我们直接得到锥体体积公式，但它帮我们得到了一个很好的定理．根据这个定理，我们的研究对象还用这么多吗？生：不用．研究锥体中的一个就可以了．师：研究哪一个比较好呢？（学生议论纷纷，说法不一）生：有的同学说三棱锥，有的同学说圆锥．我们选择的标准应该是简单、方便研究的几何体，圆锥涉及曲面问题，研究比较复杂，所以选棱锥中最简单的三棱锥做研究对象．（取下小黑板，微机显示一个三棱锥图形——图3）师：现在锥体体积公式的推导归结为三棱锥体积公式的推导．研究三棱锥体积，还得与柱体体积有联系，选三棱柱．（微机显示—图4）（完成第一次转化，使研究系统简化）师：对于底面积S，高为h的三棱柱ABC－A＇B＇C＇，三棱锥P－ABC，它们的体积会有什么关系？（学生考虑，教师引导）二个几何体的体积哪一个大？（学生活跃起来，抢着说出答案）生：三棱柱体积大．师：能从数学角度论证一下吗？（学生沉默片刻，部分同学举手）生：在三棱柱中，连结A＇B，A＇C．（微机显示—图5）三棱锥A＇－ABC，底面△ABC，面积为S，高为h，根据定理1，它的体积与三棱锥P－ABC体积相等，说明三棱锥P－ABC体积是三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积一部分，所以三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积比三棱锥P－ABC体积大．师：论证得很好，那么三棱柱体积比三棱锥体积大多少呢？（学生很感兴趣，议论纷纷，互相争论）生：三棱柱体积大约是三棱锥体积3倍左右．师：能说说理由吗？（学生思考片刻回答）生：在三棱柱中，连结B＇C，三棱锥C－A＇B＇C＇底面△A＇B＇C面积为S，高为h，它的体积与三棱锥A＇－ABC体积相等．师：这说明三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P－ABC体积2倍．这时三棱柱被分割成了三部分，其中三棱锥A＇－ABC与三棱锥C－A＇B＇C＇体积相等．（微机显示—图6，△ABC，△A＇B＇C＇红色画面闪动，点A＇，C＇白色亮点闪动）现在关键是三棱柱被分割为三部后中间部分图形体积，这是个什么图形？（教师指示图6（2））生：也是三棱锥．师：这个三棱锥以哪个点为顶点，哪个面为底面？生：A＇为顶点，△B＇BC为底面，也可以看成B＇为顶点，△A＇BC为底面，或者看成C为顶点，△A＇B＇B为底面．师：那么这个三棱锥体积是多少呢？（学生议论纷纷，思维活跃）我们希望……生：相等．师：是的，我们希望这个三棱锥体积与另外二个三棱锥体积相等，那么，它们体积相等吗？（学生积极思考，教师适当提示）师：想证两个三棱锥体积相等，需要哪些条件？生：等底面积，等高．师：能找到这二个条件吗？（学生观察，思考）师：不能只看局部，要注意局部与整体相结合．（微机显示—图7）生：三棱锥A－A＇BC与三棱锥B＇－A＇BC底面积相等．师：这时高如何？（学生感到有困难）师：这时想证两个三棱锥高相等有困难，能不能换个角度．生：先找高相等，A＇为顶点，三棱锥A＇－B＇BC与三棱锥A＇－B＇C＇C有共同的高，而在三棱柱ABC－A＇B＇C＇中，四边形B＇C＇CB为平行四边形，B＇C将B＇C＇CB分成面积相等的二个三角形，所以△B＇BC与△B＇C＇C面积相等．（微机显示—前图6，△＇B＇BC，△B＇C＇C绿色画面闪动，A＇白色亮点闪动）由定理1，可知三棱锥A＇－B＇BC与三棱锥A＇－B＇C＇C体积相等．师：很好，由此可知三棱柱分割成的三个三棱锥体积相等，也就是说三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P＇－ABC体积3倍．由于三棱柱的底面积为S，高为h，三棱锥底面积也为S，高为h．推导公式的过程是以联系，转化为主线，这是一种通用的数学思想．3．转化特点（1）由研究所有锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，使研究简化，这是通过逻辑推理实现的．（2）三棱锥体积公式的导出，又是利用三棱柱与三棱锥二种图形间内在联系（三棱锥可以补成三棱柱，三棱柱可以分割成三棱锥）进行转化的．下面我们利用已经导出的锥体体积公式进行体积计算．（显示投影软片）练习：1．已知：等边圆锥S－O，底面半径r．生：因为是等边圆锥，所以轴截面为等边三角形，又因为圆锥底面在正方体ABCD－A1B1C1D1中．因为E，F，G分别AB，BC，BB1中点，所以EF=FG=GE，BE=BG=BF．所以在三棱锥B－EFG中，顶点B在底面射影为底面正△EFG的中心O．所以BO为三棱锥B－EFG的高．（此时学生中有人议论，教师不打断回答问题学生的思路）连结GO延长交于EF于P，因为正方体棱长为a，师：利用棱锥体积公式进行体积计算时，首先要正确使用公式，其次要注意运算途径的简捷、合理．在今后的学习中我们还要进一步加强对锥体体积公式的灵活运用．作业课本p．103习题十三1，3，4．课堂教学设计说明这节课是锥体体积教学的第一节课，教学重点是锥体体积公式的推导，在锥体体积公式推导过程中，学生在教师启发下，进行一定量的思维活动，力争体现教师的主导作用和学生的主体地位．在公式推导过程中，教师的每一次提问，都应该促使学生积极思考，学生的每一次思考不一定都有正确答案，但这个思考过程是非常重要的，学生在思考过程中可以猜想，可以估算，甚至可以大胆猜想，并设法论证自己的猜想．正是由于学生的参与，学生的思维品质得到了锻炼和提高，而老师的作用是创设思维情景，促进学生思维活动．锥体体积公式推导的过程教学，也是向学生渗透联系，转化等数学思想的机会，这节课体现了两次重要的转化，一次是利用祖暅原理将锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱之间的体积关系，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实现的，这也是这里区别于其他地方转化的特点．本节课突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．本节课尝试使用计算机辅助教学，在体现三棱锥与三棱柱两种几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间割补变换显得直观、有动感，弥补在黑板上画图动感差，费时间的不足，也有利于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，起到了良好的辅助作用，在教学中使用现代化教学手段是很有必要的，但应注意适时、适量．