第二章导数与微分导学(第10次课)答案

12.3导数的应用2.3.4曲线的凹性及其判定法2.3.5曲线的拐点及其求法2.3.6曲线的渐近线2.3.7函数图形的描绘方法一、相关问题1.如图所示，曲线P=()fx表示某工厂十年间的产值变化情况。设()fx是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度变化趋势下面哪个结论描述正确？为什么？(A)前两年越来越慢，后五年越来越快；(B)前两年越来越快，后五年越来越慢；(C)前两年越来越快，后五年越来越快；(D)前两年越来越慢，后五年越来越慢。二、相关知识1.22(1),01(0,2)(1)(2),12xxxyxxx≤≤曲线在区间内有≤（）。(A)2个极值点，3个拐点；(B)2个极值点，2个拐点；(C)2个极值点，1个拐点；(D)3个极值点，3个拐点。2.函数12xxfxxx（）（）（）在，（）上有（）。(A)1条竖直渐近线，1条水平渐近线；(B)1条竖直渐近线，2条水平渐近线；(C)2条竖直渐近线，1条水平渐近线；(D)2条竖直渐近线，2条水平渐近线。三、练习题1.证明：2ln)(lnlnyxyxyyxx（其中yxyx,0,0）。分析不等式的两边表示式来看，左边是tttfln)(在x，y处的值的和，右边是点x，y的中点值的2倍，所以想到用函数凹凸的定义。证令tttfln)(()1lnftt，01)(ttf（当0x）所以)(xf是凹函数，由凹函数的定义)lnln(212ln2yyxxyxyx或即2ln)(lnlnyxyxyyxx2.求31292)(23xxxxf的凹凸区间。解)(xf的定义域为（,）)2)(1(612186)(2xxxxxfP=f(t)P02510t（年）P=f(t)P02510t（年）2)23(121812)(xxxf单调性及凹凸性讨论如下：)(xf在（23,）是凸函数；)(xf在（,23）是凹函数。在曲线上的点（215,23）处，左边的弧是凸的，右边的弧是凹的，从而该点是凹凸的分界点。3.(1)求曲线1,0(3),0xexyxxx的凹凸区间和拐点；(2)设函数()yyx由参数方程333131xttytt确定，求曲线()yyx向上凸的x的取值范围为；(3)设函数()yyx由方程ln0yyxy确定，是判断曲线()yyx在点(1,1)附近的凹凸性。解⑴由10000limlimlimlim(3)0(0)xxxxxyeyxxy知曲线在定义域(,)内连续。当0x时，有121,03(1),02xexxyxxx14(21),03(1),04xxexxyxxxx当0x时，由00()(0)(3)0limlimxxyxyxxxx知函数()yyx在0x处的导数不存在，从而二阶导数也不存在。令0y得12x．于是点12x和点0x把定义域(,)分为三个子区间。当1(,)2x时，0y，故曲线是凸的；x(1,)1（1，23）23（23，2）2(,2))(xf+0－－0+)(xf－－0++)(xf↗极小值9↘↘极小值7↗3当1(,0)2x时，0y，故曲线是凹的；当(0,)x时，0y，故曲线是凸的．点21(,)2e和(0,0)是曲线的两个拐点。⑵由于3232(31)1(31)1dydtttdxdttt，222223232(1)2(1)4(1)(1)dytttttdxtt显然2200101dytxxdx；2200101dytxxdx所以曲线()yyx向上凸的x的取值范围为(,0)或者(,0]⑶由于ln120yyy，2()ln20yyyyy从而在(1,1)处，12y，31()2y所以曲线在点(1,1)附近是凸的。4.求曲线1ln(1)xyex的渐近线。解显然0x是垂直渐近线；又因为lim0xy，所以直线0y是水平渐近线；又因为1ln(1)ln(1)limlimlim11xxxxxxxeeexxxe11lim[ln(1)]lim[ln(1)]lim[ln(1)ln]limln0xxxxxxxxxxeexexeexe所以yx是一条斜渐近线。四、思考题1.是否有类似于极值第二判别法的关于拐点的第二判别法？答有，若函数xf在点0x某领域内存在三节导数。且,0,00'''0''xfxf则点00,xfx是曲线xfy的拐点。事实上，将hxf0''在点0x展开泰勒公式，有.0'''0'''0''0''hohxfhohxfxfhxf当h充分小时，等号右端的符号由第一项hxf0'''确定。当0h时，hxf0''与0'''xf同号。4当0h时，hxf0''与0'''xf异号。即hxf0''在点0x两侧变号，点00,xfx是曲线xfy的拐点。上述拐点的充分条件的一般形式是，若xf在点0x某领域内存在12k阶导数，且,0,...,0,0020'''0''xfxfxfk而,0012xfk则点00,xfx是曲线xfy的拐点。