第二章教案1

第1页韶关学院课程教学设计（2学时）教学内容（章节、专题）第二章群论§1群的定义教学目标与要求掌握群的两个定义；掌握群的性质和有限群的定义.教学重点群的两个定义以及相关概念.教学难点群第一定义与第二定义，两个定义的等价性.选用教学素材与设备《近世代数》的教材、参考书籍以及各种辅导资料.教学设备为：黑板、粉笔等.教学过程、内容（含教与学的方法）第二章群论有了前一章的准备工作以后，我们就来研究我们抽象代数中重要的代数系统——群.群是一个只有一种代数运算的代数系统，我们知道，一个代数运算用什么符号来表示，是可以由我们选择的，可用o,也可用.群的代数运算普通为方便起见，不用o来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写ab，而写ab.因此，我们就把一个群的代数运算叫做乘法.当然一个群的乘法一般不是普通的乘法.如向量空间的加法一样.§2.1群的定义第2页群的定义有很多不同的种类，它的很多性质可以作为它的定义.荷兰数学家罗伦茨（1853-1928）曾举出了40个以上的群的定义.有的不用乘法而用除法来定义，常见的是我们书上的两种（或三种）.一、群的第一定义1.定义设G是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合，若：I．G对于这个乘法来说是封闭的；II．结合律成立：,,,()()abcGabcabc有；III．,abG，方程axb和yab都在G里有解.则称G对于这个乘法来说作成一个群.注意：1．定义了叫做乘法的代数运算的非空集合G称为一个群胚.2．满足I，II的代数系统G称为半群.3．群是：一个集合，一种运算，三条公理.2.例例1.{}Gg，乘法：ggg，则G对于这个乘法来说作成一个群.这是因为：Ⅰ.G是闭的；Ⅱ.()()ggggggg;Ⅲ.gxg有解，就是gygg有解，就是g.例2．整数加群：ZG，乘法是普通加法，则G对于普通加法来说作成一个群.这是因为：Ⅰ.两个整数相加还是一个整数；Ⅱ.整数相加适合结合律;Ⅲ.,abG方程axb和yab在G中有整数解.例3．G，乘法是普通减法，则G对于普通减法来说不作成群.因为：I，III成立，但II不成立：3-(2-1)≠(3-2)-1.第3页例4．*G，乘法是普通乘法，则G对于普通乘法来说不作成群.因为：I，II成立，但III不成立：32x没有整数解.例5．*G，乘法是普通乘法，则G对于普通乘法来说作成一个群.3.性质：若G是一个群，则IV．eG，使aG有eaa（这个e叫做G的一个左单位元）.[证明]由II，对于一个固定的元b，ybb在G里有解.取一个解e：ebb.aG，又由III，bxa有解c：bca，()eaebcebcbca.这就证明了e的存在.V．aG，1aG使1aae（1a叫做a的一个左逆元，e是一个固定的左单位元）.[证明]由III，yae有解1a：1aae.命题1.设G是一个定义了乘法的非空集合，则I，II，IIII，II，IV，V.二、群的第二定义设G是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合.若满足I，II，IV，V，则称G对于乘法来说作成一个群.命题2.设G是一个定义了乘法的非空集合，则I，II，IV，VI，II，III.[证明]我们分三步来证明：（i）“一个左逆元一定也是一个右逆元”，这句话现在还不能这么说.“若1aae，则1aae（e是左单位元）.”因为：由V，aG使1aae，所以11111111()()()[()]()aaeaaaaaaaaaaaeaaae，即1aae.（注意：这时1a还不能说是a的右逆元，因为e还不一定是右单位元.）（ii）“一个左单位元一定也是一个右单位元”，即aGaea有.因为：11()()aeaaaaaaeaa，即aea.第4页（iii）,abG，1VaG由，又由I1abG.取1xab，则它就是方程axb的解，因为：11()()aabaabebb.又1VaG由又由I1abG.取1yba，则它就是方程yab的解，因为：11()()baabaabeb.故公理I，II，III成立.命题1和命题2说明群的这两个定义是等价的.例6．{1,1}G，乘法：普通乘法，则G对于普通乘法来说作成一个群.这是因为：Ⅰ.G对于普通乘法来说是闭的；II．普通乘法适合结合律，对于G的元当然也成立；IV．1G，使111,1(1)1，即1是左单位元；V．111,(1)(1)1.它的乘法表是：1-11-11-1-11例7．{,}Gababababba则G是一个群,同例6.又若{,}Gab第5页ababababI成立显然，II成立同学自己验证.IV,aGxGaxx使有，,bGxGbxx使有.V不成立对于a有ba=a，对于b有ab=b但yb=a无解.所以，V不成立，G不成群.III不成立：方程yb=a无解.注意：1.一般第二定义比第一定义更方便，用的更多；2.若成群一般用第二定义，若不成群一般用第一定义三、群的第三定义与公理比较定义：设G是一个定义了乘法的代数运算的非空集合，若满足I，II及IV＇,eGaGaea使有（这个ｅ叫Ｇ的一个右单位元）.V＇11,,aGaGaae使=（1a叫做a的一个右逆元，e是一个固定的右单位元）.可证I，II，IIII，II，IV＇，V＇，也可证I，II，IV，VI，II，IV＇，V＇.下列各组公理能不能作为群的公理呢？（246C）.（A）I，II，IV，IV＇；（B）I，II，IV，V＇；（C）I，II，IV＇，V；（D）I，II，V，V＇.答：（A）不能作为群公理：例8．G，乘法：普通乘法.I，II满足，而左右单位元都是1，满足IV，IV＇，但G不是群.（B）不能作为群公理：例9．{,}Gab第6页ababababI成立，II也成立：考虑()()xyzxyz，当xa时，()()ayzyzayz；当xb时，()()byzyzbyz.IV成立：有两个左单位元a，b：,axxbxx.V＇成立：对于给定的左单位元a：a有右逆元a：aa=a；b有右逆元a：ba=a.但G不构成群.（C）不能作为群公理：例10．{,}GabababaaBb它满足I，II，IV＇，V，但不构成群.（D）不能作为群公理，显然.四、几个名词和符号1.有限群——若群G的元的个数是一个有限整数.无限群——若群G的元的个数不是有限整数.一个有限群G的元的个数叫做这个群的阶，记为|G|.例1、例6是有限群；例2、例5是无限群.2.群G的乘法适合结合律，12()niaaaaG有意义，且属于G.当12naaaa时，我们称12nnaaa次（n是正整数）是a的n次乘方（简称n次方），记为naaaa或规定11nnaaaaa.第7页性质：nmnmaaa；(),(,)nmnmaanm.3.设G是一个群，若,abG均有ab=ba，则称G是交换群，也叫阿贝尔群.（在群的公理中没有要求交换律成立，所以在一般的群里交换律未必成立，但也有成立的群，这种群叫交换群）.性质：穿脱原理：,abG（群），111()abba.[作业]一.设nn是实数域上的所有n级矩阵的集合.根据群的定义判断下列代数系统是否构成群？1.nnG，乘法：矩阵的加法；2.nnG，乘法：矩阵的乘法；3.{|,||1}nnGAAA，乘法：矩阵的乘法；4.{|,||0}nnGAAA，乘法：矩阵的乘法.二.P353.