第二章数列单元测试1(人教A版必修5)

第二章数列单元测试1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＝12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为()A．48B．54C．60D．66[答案]B[解析]∵a4＋a6＝a1＋a9＝12，∴S9＝9a1＋a92＝9a4＋a62＝9×6＝54.2．若等比数列{an}的公比q0，且q≠1，又a10，那么()A．a2＋a6a3＋a5B．a2＋a6a3＋a5C．a2＋a6＝a3＋a5D．a2＋a6与a3＋a5的大小不能确定[答案]B[解析](a2＋a6)－(a3＋a5)＝(a2－a3)－(a5－a6)＝a2(1－q)－a5(1－q)＝(1－q)(a2－a5)＝a1q(1－q)2(1＋q＋q2)．∵q0，且q≠1，又a10，∴(a2＋a6)－(a3＋a5)0.即a2＋a6a3＋a5.3．△ABC中三内角A、B、C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，则三内角的公差等于()A．0°B．15°C．30°D．45°[答案]A[解析]∵A、B、C成等差数列，则B＝60°.又三边成等比数列，∴b2＝ac，则有sin2B＝sinAsinC.34＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]，即cos(A－C)＝1，∴A－C＝0°，∴A＝C.又∵B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，故选A.4．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n[答案]A[解析]∵a1，a3，a6成等比数列，则(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)，a1d＝4d2，∴d＝12，∴Sn＝na1＋nn－12d＝2n＋n2－n4＝n24＋74n.5．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A．1.14aB．1.15aC．11×(1.15－1)aD．10(1.16－1)a[答案]C[解析]本题是等比数列实际应用问题，考查建模能力和实际问题中求通项还是前n项和的区别能力．设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝aan＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤5)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和应为S6－a1＝a1.16－11.1－1－a＝11×(1.15－1)a.6．212＋414＋818＋…[phone]等于()A．204610231024B．200710231024C．104711024D．204611024[答案]A[解析]212＋414＋818＋…[phone]＝(2＋4＋8＋…＋1024)＋(12＋14＋18＋…＋11024)＝21－2101－2＋12[1－1210]1－12＝211－2＋1－(12)10＝2046＋210－1210＝2046＋10231024＝204610231024.7．等差数列{an}中，a10，若其前n项和为Sn，且有S14＝S8，那么当Sn取最大值时，n的值为()A．8B．9C．10D．11[答案]D[解析]解法一：∵S14＝S8，∴a9＋a10＋…＋a14＝0，∴a11＋a12＝0，∵S14＝S8，a10，∴d≠0.故a110，a120，∴S11最大．解法二：∵a10，S14＝S8，∴d0.∴点(n，Sn)是抛物线上的点，且抛物线的对称轴为n＝11，抛物线的开口向下，∴n＝11时，Sn取最大值，故选D.8．正项数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，且a1＝1，则a7的值为()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]∵a2n＋1＝a2n＋4(n∈N*)，∴a2n＋1－a2n＝4，又a1＝1，∴a21＝1.∴数列{a2n}是首项为1，公差为4的等差数列，∴a2n＝1＋4(n－1)＝4n－3.∴a27＝4×7－3＝25，又a70，∴a7＝5.9．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2010n＋t(t为常数)，则a1的值为()A．2008B．2009C．2010D．2011[答案]B[解析]∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2010n＋t，∴a1＝S1＝2010＋t，a2＝S2－S1＝20102＋t－2010－t＝2009×2010，a3＝S3－S2＝20103＋t－20102－t＝2009×20102，又a1a3＝a22，∴(2010＋t)×2009×20102＝(2009×2010)2，∴t＝－1，∴a1＝2010＋t＝2009.10．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为()A．7或－3B．log37C．log27D．4[答案]C[解析]由已知得，2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)，整理得(2x)2－4·2x－21＝0，解得2x＝7，∴x＝log27.11．已知0abc1，且a、b、c成等比数列，n为大于1的整数，则logan，logbn，logcn成()A．等差数列B．等比数列C．各项倒数成等差数列D．各项倒数成等比数列[答案]C[解析]∵b2＝ac，∴1logan＋1logcn＝logna＋lognc＝logn(ac)＝lognb2＝2lognb＝2logbn.12．把数列{2n＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…则第104个括号内各数之和为()A．2036B．2048C．2060D．2072[答案]D[解析]由观察会发现，每十个数都是一个循环，一个循环里有10个数组成，104个括号有26个小循环，则第104个括号内有四个数，则这四个数为数列3,5,7,9…的第257项，第258项，第259项，第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2072.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.[答案]15[解析]由等差数列的性质得，a3＋a8＝a5＋a6＝22，又a6＝7，a5＝22－7＝15.14．已知数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1＋a2b2的值为________．[答案]52[解析]a1＋a2＝5，b22＝1×4，b2＝±2，而b2是第三项，第一项和第五项都是正数，故b2＝2，∴a1＋a2b2＝52.15．(2011·湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，∴4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766，∴a5＝a1＋4d＝1322＋4×766＝6766.16．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S16＞0，S17＜0,则当n＝________时，Sn最大．[答案]8[解析]∵S16＝16a1＋a162＝8a8＋a9＞0S17＝17a1＋a172＝17a9＜0，∴a8＞0而a1＞0，∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n＝8时，Sn最大．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)数列{an}是等差数列，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求公差d.[解析]∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d，又a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，∴1＋n－1d＝－512①n＋12nn－1d＝－1022②把(n－1)d＝－513代入②，得n＋12n·(－513)＝－1022，解得n＝4，∴d＝－171.18．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn＝2－2an，n∈N*.求证：数列{an}为等比数列，并求通项an.[证明](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－2a1，∴a1＝23；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2－2an)－(2－2an－1)＝2an－1－2an.∴anan－1＝23.故{an}是以a1＝23为首项，以q＝23为公比的等比数列．∴an＝a1qn－1＝(23)n.19．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝1，S11＝33.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(14)an.求证：{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.[解析](1)∵a2＝1S11＝33，∴a1＋d＝111a1＋11×102d＝33，∴a1＝12d＝12，∴an＝n2.(2)∵bn＝(14)n2＝12n，∴bn＋1bn＝12，∴{bn}是以b1＝12为首项，12为公比的等比数列，前n项和Tn＝121－12n1－12＝1－12n.20．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝1,3(a1＋a2＋…＋an)＝(n＋2)an，求通项an.[解析]∵3(a1＋a2＋…＋an)＝(n＋2)an，∴3Sn＝(n＋2)an，∴3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，两式相减，得3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，∴(n－1)an＝(n＋1)an－1，即anan－1＝n＋1n－1(n≥2)．∴a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53，…，anan－1＝n＋1n－1(n≥2)，将以上各式相乘，得ana1＝nn＋12，又a1＝1，∴an＝nn＋12.又a1＝1满足上式，∴an＝nn＋12(n∈N*)．21．(本小题满分12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝12，前n项的和为Sn，且210S30－(210＋1)·S20＋S10＝0.(1)求{an}的通项；(2)求{nSn}的前n项和Tn.[解析](1)解法一：当q＝1时，S10＝10a1，S20＝20a1，S30＝30a1，∴210S30－(210＋1)S20＋S10＝210·30a1－(210＋1)·20a1＋10a1＝210·30a1－210·20a1－20a1＋10a1＝10a1·210－10a1＝10a1(210－1)，∵a10，∴10a1(210－1)≠0.∴q≠1.由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0得210·a11－q301－q－(210＋1)·a11－q201－q＋a11－q101－q＝0，∴210(1－q30)－(210＋1)·(1－q20)＋1－q10＝0，∴210－210q30－210＋210q20－1＋q20＋1－q10＝0，即q10(q10－1)(210q10－1)＝0，∴210q10－1＝0，∴210q10＝1，∵q0，∴q＝12.∴an＝a1qn－1＝12·(12)n－1＝12n.解法二：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10，即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20.可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20.∵an0，∴210q10＝1.解得q＝12.故an＝a1qn－1＝12n，(n＝1,2…)(2)因为{an}是首项a1＝12，公比q＝12的等比数列，故Sn＝121－12n1－12＝