第二章数列章末检测(B)

第二章数列章末检测(B)姓名：________班级：________学号：________得分：________(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在等差数列{an}中，a3＝2，则{an}的前5项和为()A．6B．10C．16D．322．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于()A．3B．4C．5D．63．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．5B．4C．3D．24．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝15．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则数列{an}的通项公式为()A．an＝24－nB．an＝2n－4C．an＝2n－3D．an＝23－n6．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8B．12C．16D．247．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a10－12a12的值为()A．10B．11C．12D．138．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()A．35B．33C．31D．299．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S160，且S170，则当Sn最大时n的值为()A．8B．9C．10D．1610．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n|等于()A．1B.32C.52D.9211．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2010位于第()组．A．30B．31C．32D．3312．a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a1d的值为()A．－4或1B．1C．4D．4或－1题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2011项和S2011＝________.14．等差数列{an}中，a100，且a11|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn0的n的最小值为__________．15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg2≈0.3010)16．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则它的通项公式是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)数列{an}中，a1＝13，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝(13)n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．18．(12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.19．(12分)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知13S3，14S4的等比中项为15S5；13S3，14S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式．20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设数列{1anan＋1}的前n项和为Tn，求证：15≤Tn14.21．(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1＝1，b1＝3，a2＋b2＝8，T3－S3＝15.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足a1cn＋a2cn－1＋…＋an－1c2＋anc1＝2n＋1－n－2对任意n∈N*都成立，求证：数列{cn}是等比数列．22．(12分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为a2(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a23n－1万元．(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？第二章数列章末检测(B)答案1．B[S5＝5a1＋a52＝5a3＝10.]2．B[∵3S3＝a4－2,3S2＝a3－2.∴3(S3－S2)＝a4－a3，∴3a3＝a4－a3.∴a4＝4a3.∴q＝4.]3．C[当项数n为偶数时，由S偶－S奇＝n2d知30－15＝5d，∴d＝3.]4．B[T5＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a53＝1.∴a3＝1.]5．A[q3＝a4＋a6a1＋a3＝18，∴q＝12.∵a1＋a3＝a1(1＋q2)＝54a1＝10，∴a1＝8.∴an＝a1·qn－1＝8·(12)n－1＝24－n.]6．C[∵S10＝6，S5＝2，S10＝3S5.∴q≠1.∴S5＝a11－q51－qS10＝a11－q101－q∴S10S5＝1＋q5＝3.q5＝2.∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)q15＝S5·q15＝2×23＝16.]7．C[a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，a8＝24.∴a10－12a12＝12(2a10－a12)＝12[2(a1＋9d)－(a1＋11d)]＝12(a1＋7d)＝12a8＝12.]8．C[设公比为q(q≠0)，则由a2a3＝2a1知a1q3＝2，∴a4＝2.又a4＋2a7＝52，∴a7＝14.∴a1＝16，q＝12.∴S5＝a11－q51－q＝16[1－125]1－12＝31.]9．A[∵S16＝16a1＋a162＝8(a8＋a9)0，∴a8＋a90.∵S17＝17a1＋a172＝17a90.∴a90，∴a80.故当n＝8时，Sn最大．]10．B[易知这四个根依次为：12，1,2,4.不妨设12，4为x2－mx＋2＝0的根，1,2为x2－nx＋2＝0的根．∴m＝12＋4＝92，n＝1＋2＝3，∴|m－n|＝|92－3|＝32.]11．C[∵前n组偶数总的个数为：2＋4＋6＋…＋2n＝2＋2nn2＝n2＋n.∴第n组的最后一个偶数为2＋[(n2＋n)－1]×2＝2n(n＋1)．令n＝30，则2n(n＋1)＝1860；令n＝31，则2n(n＋1)＝1984；令n＝32，则2n(n＋1)＝2112.∴2010位于第32组．]12．A[若删去a1，则a2a4＝a23，即(a1＋d)(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得d＝0，不合题意；若删去a2，则a1a4＝a23，即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，化简，得a1d＝－4；若删去a3，则a1a4＝a22，即a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，化简，得a1d＝1；若删去a4，则a1a3＝a22，即a1(a1＋2d)＝(a1＋d)2，化简，得d＝0，不合题意．故选A.]13．1004解析a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，∴a2011＝－1，∴S2011＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2009＋a2010)＋a2011＝1005×1＋(－1)＝1004.14．20解析∵S19＝19a1＋a192＝19a100；S20＝20a1＋a202＝10(a10＋a11)0.∴当n≤19时，Sn0；当n≥20时，Sn0.故使Sn0的n的最小值是20.15．14解析设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，∴an＋1＝(1－20%)n，由题意可知：(1－20%)n5%，即0.8n0.05.两边取对数得nlg0.8lg0.05，∵lg0.80，∴nlg0.05lg0.8，即nlg5－2lg8－1＝1－lg2－23lg2－1＝－lg2－13lg2－1≈－0.3010－13×0.3010－1≈13.41，取n＝14.16．an＝2n＝16n－5n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3－2＋1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.则当n＝1时，6×1－5＝1≠a1，∴an＝2n＝16n－5n≥2.17．解(1)由Sn＋1－Sn＝(13)n＋1得an＋1＝(13)n＋1(n∈N*)，又a1＝13，故an＝(13)n(n∈N*)．从而Sn＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n∈N*)．(2)由(1)可得S1＝13，S2＝49，S3＝1327.从而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t，解得t＝2.18．解(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，所以anbn＝n·2n－1.Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以Tn＝(n－1)2n＋1.19．解设等差数列{an}的首项a1＝a，公差为d，则Sn＝na＋nn－12d，依题意，有133a＋3×22d×144a＋4×32d＝1255a＋5×42d2，133a＋3×22d＋144a＋4×32d＝1×2，整理得3ad＋5d2＝0，2a＋52d＝2，∴a＝1，d＝0或a＝4，d＝－125.∴an＝1或an＝325－125n，经检验，an＝1和an＝325－125n均合题意．∴所求等差数列的通项公式为an＝1或an＝325－125n.20．(1)解由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，即an＋1－an＝4.∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝4n－3.(2)证明Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋14n－3×4n＋1＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n－3－14n＋1)＝14(1－14n＋1)14.又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝15，得15≤Tn14.21．(1)解设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q0)．由题意得d＋3q＝7，q＋q2－d＝5，解得d＝1，q＝2.∴an＝n.bn＝3×2n－1.(2)证明由cn＋2cn－1＋…＋(n－1)c2＋nc1＝2n＋1－n－2，知cn－1＋2cn－2＋…＋(n－2)c2＋(n－1)c1＝2n－(n－1)－2(n≥2)．两式相减：cn＋cn－1＋…＋c2＋c1＝2n－1(n≥2)，∴cn－1＋cn－2＋…＋c2＋c1