第二章数学思想方法的两个源头

第二章数学思想方法的两个源头第一节古希腊的《几何原本》第二节中国的《九章算术》第一节古希腊的《几何原本》一、欧几里得与《几何原本》二、《几何原本》基本内容三、《几何原本》建立的历史背景和特点四、《几何原本》的历史意义和它对数学发展的意义《几何原本》是古希腊时期乃至整个人类历史上最重要的数学著作。古希腊数学家欧几里得将之前的希腊数学进行了整理，它成书于公元前300年左右。现代，《几何原本》于1990年被翻译成了中文。徐光启（1562-1633）利玛窦（1552-1610）于1607年翻译了欧几里得的《几何原本》前六卷。他们的译文质量很高，许多数学上的专门名词和术语，如几何、点、线、面、平行线、钝角、锐角、三角形、四边形等等，都是由他们首先使用，并沿用至今。李善兰（1811-1882）1857年李善兰与英国传教士韦列亚力合作完成了《几何原本》后九卷的翻译。韦列亚力（1815-1887）全书共十三卷（或十五卷），总共有475个命题（包括5个公设和5个公理）。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。从某种意义上讲《几何原本》中的“几何”不是从内容上，而更多的是从几何的思想角度来理解。五个公设1、从任意一点到任意一点可作直线。2、有限直线可以继续延长。3、以任意一点为中心及任意的距离(为半径)可以画圆。4、所有直角都相等。5、同一平面内一条直线和另外两条直线相交．若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。五个公理1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和仍相等。3、等量减等量，其差仍相等。4、彼此能够重合的物体是全等的。5、整体大于部分。卷1命题1：在一个已知有限直线上做一个等边三角形。内容分析ABc毕达哥拉斯定理卷1命题47：直角三角形中，斜边上的正方形等于两直角边上正方形的和。cbacbaABCDEFGHMLK矩形ADLM面积=2△ACD面积=2△AFB面积(∵△ACD≌△AFB)=正方形ACHF面积同理矩形BELM面积=正方形BKGC面积cbacbaABCDEFGHMLK故正方形ADEB面积=正方形ACHF面积+正方形BKGC面积AB2=AC2+BC2cbacbaABCDEFGHMLK卷1命题48：如果在一个三角形中，一个边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角。毕达哥拉斯定理的逆定理ACB已知：三角形ABC中，AB2=AC2+BC2。求证：△ABC为直角三角形。证明：过C作DCAC，且使DC=BC，链接AD因为△ABC是直角三角形所以△ACD是直角三角形，有AD2=DC2+AC2所以AD=AB因此△ACD≌△ACB所以∠ACB=∠ACD=90°ACBD泰勒斯开始了命题的证明，为将几何建立到论证体系中迈出了第一步毕达哥拉斯学派开始了数学的抽象研究体系的划定，主要是研究几何三大问题内容的积累方法——穷竭法逻辑作为工具欧几里得完成了对《几何原本》的历史性的整理七个步骤《几何原本》的特征1、封闭的演绎体系《几何原本》是数学中最早形成的演绎的、逻辑的、公理化的体系。形式上，从几个公理和公设出发，通过点、线、面，和逻辑的基本方法，把当时所学的几何学的问题全部推演出来了，从而形成了一个封闭的体系。从当时社会发展来看，《几何原本》与生活和社会实际问题无关，它没有一个命题是讨论生活实际问题的，全部是纯数学问题，因此对于社会生活的各个领域而言他也是封闭的。所以说《几何原本》无论从数学的角度还是从当时社会生活的各个领域来看它都是一个封闭的演绎体系。2、抽象化的内容希腊人在研究几何方面的功绩之一就是把数学变成了抽象化的科学。在他们之前巴比伦数学、埃及数学都是一些实际的问题。希腊人极力主张寻找事物的普遍属性，想从自然界和人的思想的千变万化的过程中分离抽象出一些共同的特征，这些东西对于数学方法和科学方法都是非常重要的，他们追求真理、追求理性，最后用《几何原本》把它们表达了出来，所以《几何原本》抽象化的内容是它的第二个特征。3、公理化的方法公理化的方法成为了现在数学的一种基本的表术方式。《几何原本》的历史意义1、《几何原本》是历史上第一个演绎的公理化体系。2、《几何原本》诞生后，为数学家、科学家提供了纯数学的一种模式。3、《几何原本》的诞生标志着几何发展历史上一个重要的阶段。《几何原本》在数学发展中的意义1、欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的，包括数论的、几何的知识，成为近代西方数学产生的思想源泉。它涉及到许多问题，如尺规作图问题、正多边形的尺规作图问题、正多面体的问题，在后来的数学发展中还经常的又回到了这些问题上，所以它几乎概括了当时古希腊的所有的数学理论，也成为了近代数学产生的思想源泉。2、《几何原本》是希腊人根据几何材料的内在联系，用概念作为判断和推理的基础逐步形成了数学证明的观念，这是对数学认识的一个质的飞跃。在这之前，人们对数学的认识还处在一个经验的、实验的阶段，在这之后，它成为一种思维的学科。3、《几何原本》是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点、数学思想方法的特点发扬光大了，可以说是古希腊数学思想的最高成就。4、《几何原本》的成功是希腊数学的成功，是演绎公理化体系的成功。它被奉为是学教育的依据。而且以后的数学和数学教育经常将它作为经典的必修著作，数学家以及很多的科学家都是从中汲取了丰富的营养，从中获得了莫大的收益和鼓舞，所以它是希腊数学的成功，也是演绎公理体系的成功。5、《几何原本》自成书之后，在数学界产生巨大而深远的影响。成为数学史上乃至科学史上严格的演绎的公理化体系的最早的典范。第二节中国的《九章算术》一、《九章算术》的形成二、《九章算术》基本内容三、《九章算术》的特点四、《九章算术》的意义五、《九章算术》与《几何原本》之比较《九章算术》是中国古代著名数学著作。成书于汉代（公元一世纪左右）。与《几何原本》一样，它是对它之前中国古代数学发展的总结。《九章算术》的形成第一章“方田”田亩面积计算第二章“粟米”谷物粮食的按比例折换第三章“衰（cui）分”比例分配问题第四章“少广”已知面积、体积、求其一边长和径长《九章算术》的基本内容第五章“商功”土木工程、体积计算第六章“均输”合理摊派赋税第七章“盈不足”即双假设法解题第八章“方程”一次方程、一次方程组问题第九章“勾股”利用勾股定理求解的各种问题1、《九章算术》在算数方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》实际上是世界上最早的叙述了分数运算的著作，在古代的埃及也有分数，但是它的叙述和计算方法与《几何原本》完全不同，而《九章算术》中的一套分数计算和分数理论与我们现在所使用的分数理论完全一致。另外，在《九章算术》的第二、三、六章中还有很多的比例问题，这在世界上也是最早的。“盈不足”术也就是双假设法也是一项创造，中世纪欧洲称它为双假设法，有人认为它是由中国经中世纪的阿拉伯传入欧洲的。2、《九章算术》在几何方面，主要是面积、体积计算。包括圆的面积的计算，圆周率的计算和一些图形的体积的计算。3、《九章算术》在代数方面，主要有一次方程组解法、开平方、开立方、一般二次方程解法等。例1卷1（三一）今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？答曰：七十五步。卷1（三二）又有圆田，周一百八十步，径六十步、三分步之一。问为田几何？答曰：十一亩九十步、十二分步之一。术曰：半周半径相乘得积步。又术曰：周径相乘，四而一。又术曰：径自相乘，三之，四而一。又术曰：周自相乘，十二而一。例2卷八（一）“今有上禾（huo）三秉（古代容量单位），中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？”设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为x斗，y斗，z斗，则问题就相当于解一个三元一次方程组：323923342326xyzxyzxyz然后通过行的数乘与行、行之间的加减，逐个消去未知数，得到“方程组”的解。这些思想及形式，可以称之为近代高等代数中“矩阵”概念和“线性方程组矩阵解法”的最早体现。左行中行右行上禾中禾下禾实例3卷八（三）今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？213141xyyzzx例4卷九勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦。《周髀算经》中对勾股定理的描述：若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日。例4卷九勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦。又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾。又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股。《九章算术》的特点1、开放的归纳体系从思想或方法的角度来看，《九章算术》主要是按照由个别到一般的归纳推理方式展开的，它先举一些实例（一个或一些社会或生活中的问题），从中归纳出一类问题的一般解法——算法（术）。2、算法化的内容《几何原本》是抽象化的内容，《九章算术》是算法化的内容。抽象化的内容，它都是由一些命题、定理、推演构成的，而在《九章算术》中，没有命题，只有一道道题目和一些方法，而这些题都是按照不同的方法将它们分门别类的安排在《九章算术》中。例5《九章算术》中的约分术约分术（第一章中的一个算法）其术文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”如《九章算术》第一章中第6题，有九十一分之四十九，问约之得几何？此问题关键是求91与49的最大公约数（等数）。3、模型化的方法从数学方法的角度来看，《九章算术》以社会实践和生活为基础，选择具有典型意义的现实问题，用数学方法（术）使其转化成数学模型。然后用模型再解决更多的其它的问题。《九章算术》的特点中国传统数学：整个中国数学的发展经历了三个阶段，一个是中国传统数学的起源与发展，第二个阶段是西方数学输入中国的时期，叫过度时期，第三个时期也就是现在我们的时期，也就是中国数学完全与国际数学合流，成为国际数学中的一个部分。因此中国传统数学从思想和方法上讲实际上是与西方数学完全不同的数学，所以我们在这里讲《九章算术》对中国传统数学发展的意义主要是在中国传统史上的意义和作用。在现代数学中，我们已经很少去学《九章算术》，我们只能去了解《九章算术》的思想和方法，对现代数学的意义和作用。《九章算术》的意义1、《九章算术》的成书标志着中国传统数学中初等数学体系的形成。它的内容、成文方式、体例及其思想方法对中国传统数学乃至社会政治影响非常巨大而深远。中国传统史上《九章算术》算是一部非常经典的著作，它从公元100左右成书以来，到中国数学发展到高峰14世纪的1000多年的时间里，中国传统数学受《九章算术》的影响很大，首先是从内容上讲，《九章算术》研究的一元高次方程，也就是它的开方术，后来在中国传统数学上发展成为一个发达的分支，也就是高次方程的数值解，到元代已经能解到一元十次左右的方程或多元高次方程组。另外就是勾股定理的应用，后来到了《测圆海镜》里解决了各种勾股容圆问题。所以整个《九章算术》从内容上讲对中国的传统数学的发展有着很重要的影响。1、《九章算术》的成书标志着中国传统数学中初等数学体系的形成。它的内容、成文方式、体例及其思想方法对中国传统数学乃至社会政治影响非常巨大而深远。从《九章算术》的成文方式和体例上讲，在它之后的其它的中国传统数学著作基本上按照这种方式来进行，就是几道题之后有一个“术曰”，然后再有几道题应用。另外，按照“勾股”、“方程”、“少广”分类方式都对之后的传统数学产生了重要影响。从体例和思想来看，它的编排方式、主要思想和一些公式在这之后的社会发展中，比如说制定立法的时候要用到一些分数的理论，在进行的国家税收等方面进行的计算都要用到《九章算术》的内容。所以《九章算术》在成书之后对中国传统数学乃至整个社会的发展产生了一定得影响。2、