第二章第五节,第六节(上)

第二章(第五,六节)第五节连续型随机变量及其概率密度函数随机变量X,简记为Xvr..,分布函数}{)(xXPxF.定义4设随机变量X的分布函数为)(xF,如果存在一个定义在,上非负可积函数)(xf，使得对任何实数x，恒有xdttfxF)()(,则称X为连续型随机变量,称函数)(xf为随机变量X的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.概率密度函数的性质：由定义可以知道，概率密度函数)(xf具有下列基本性质：（1）0)(xf，对一切,x；（2）1)()(Fdxxf。反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(xf，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数.连续型随机变量X取区间值概率的计算.定理设X为连续型随机变量,分布函数为)(xF,概率密度为)(xf,则有(1)xdttfxF)()(是连续函数;(2),0)()(}{xFxFxXP,x;(3)],(baI或],[ba,或),[ba,或),(ba,或a,或bbadxxfaFbFIXP)()()(}{;(4)若)(xf在0x点连续，则)(xF在0x点可导,且)()(00xfxF;如果)(xf是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(xFxf(除去有限个不连续点,在这些点上可任意给)(xf的值).例1设随机变量X的分布函数为1,110,0,0)(3xxxxxF,求随机变量X的概率密度)(xf.解由)()(xFxf,得其它,010,3)(2xxxf.例2设随机变量X的概率密度为其它,010,101,1)(xxxxxf,求(1)}21|{|XP;(2)X的分布函数.解(1)}2121{}21|{|XPXP2121)(dxxf021)(dxxf210)(dxxf021)1(dxx210)1(dxx21020212|)21(|)21(xxxx75.0438383;(2)xdttfxF)()(,当1x时,)(,0)(xttf,0)(xF;当01x时,xdttfdttfxF11)()()(xxttdtt121|)21()1(021212xx;当10x时,xdttfdttfdttfxF0011)()()()(xdttdtt001)1()1(0xtttt02012|)21(|)21(21212xx,当1x时，xdttfdttfdttfdttfxF110011)()()()()(10)1()1(01001dttdtt，于是，X的分布函数为1,110,212101,21211,0)(22xxxxxxxxxF.第六节常用的连续型随机变量分布具有代表性的连续型随机变量分布有以下几种:一、均匀分布称为区间（a，b）上均匀分布的随机变量，如果它是连续型随机变量，具有概率密度函数：其它,0,1)(bxaabxf记作),(~baU,它的分布函数为bxaxbxaabaxxF,1,0,)(.例1设随机变量]4,4[~U，试求方程06442tt有实根的概率.解的概率密度为其它,044,81)(xxf,A方程06442tt有实根}0)6(44)4{(2}06{2}2{}3{,}2{}3{)(PPAP23)()(dxxfdxxf24438181dxdx375.0838281.二、指数分布若随机变量的概率密度为0,00,)(xxexfx,(其中0为常数)则称服从参数为的指数分布.它的分布函数为xxxedttfxxF0,1)(0,0)(.服从指数分布的实际例子:指数分布在实际中有重要应用,它可以作为各种“寿命”的近似分布.例如,无线电元件的寿命;动物的寿命;电话的通话时间;随机服务系统中的服务时间等都可以近似地用指数分布来描述.它在可靠性理论与工程中占有特别重要的地位.例2设某电子元件的寿命(以小时计)服从参数001.0的指数分布.试求该元件至少能使用1000小时的概率.解根据题意,的概率密度为0,00,001.0)(001.0xxexfx,记A该元件至少能使用1000小时,则}1000{)(PAP1000)(dxxf1000001.0001.0dxex3679.0|)(11000001.0eex.例题：设某人打一次电话所用的时间服从参数为1/10（单位：分）的指数分布，当你走近电话室需要打电话，某人恰好在你面前开始打电话。求以下几个事件的概率：（1）你需要等待10分钟以上；（2）你需要等待10－20分钟；解：用表示某人的通话时间，也就是你的等待时间，则的分布密度0,00,101)(10xxexfx,所以要求的概率分别为:(1)368.0101)10(10110edxePx;(2)201010101)2010(dxePx233.021ee.三、威布尔(Weibull)分布若随机变量的概率密度为0,00,)()()(1xxexxfx,其中,均为正常数,则称服从参数为,的威布尔分布,记作),(~W.称为尺度参数(又叫量纲参数或特征寿命),称为形状参数.不难看出,当1时,威布尔分布即为指数分布.大量的经验表明,许多产品的寿命,如滚动轴承的疲劳寿命,电子元器件的寿命等都服从威布尔分布.它在可靠性问题中有广泛的应用.四、分布若随机变量的概率密度为0,00,)()(1xxexxfx,其中0,0均为常数,dtett01)(则称服从参数为,的分布,记作),(~.分布在水文统计、最大风速或最大风压的概率计算中经常要用到.概率论中不少常见的重要分布只是分布的特殊情形.当1时,分布即是参数为的指数分布;当21,2n时,分布则是统计学中十分重要的)(2n分布,其概率密度为0,00,)2(21)(2122yyeynyfynn.函数的定义为dtett01)(,(0),(含参变量的广义积分)函数具有以下性质:(1))21(,1)1(;(2)对任意0s，有)()1(sss（由dtetsts0)1(dtetts)(0，通过分部积分来计算证明。）(3)对自然数n,!)1(nn.（由迭代)()1(nnn给出。）