第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示

第1讲函数及其表示1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．一个方法求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案A2．(2011·江西)若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()．A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析由log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12＜x＜0.答案A3．下列各对函数中，表示同一函数的是()．A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lgx＋1x－1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)C．f(u)＝1＋u1－u，g(v)＝1＋v1－vD．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2答案C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()．A．y＝x10B．y＝x＋310C．y＝x＋410D．y＝x＋510解析根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝x＋310.故选B.答案B5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．解析任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]考向一求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域：(1)f(x)＝|x－2|－1log2x－1；(2)f(x)＝lnx＋1－x2－3x＋4.[审题视点]理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须|x－2|－1≥0，x－10，x－1≠1.解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须x＋10，－x2－3x＋40，即x－1，x＋4x－10，解得：－1x1.因此f(x)的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】(2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为－12，12，求函数y＝fx2－x－12的定义域；(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．解(1)令x2－x－12＝t，知f(t)的定义域为t－12≤t≤12，∴－12≤x2－x－12≤12，整理得x2－x≥0，x2－x－1≤0⇒x≤0或x≥1，1－52≤x≤1＋52，∴所求函数的定义域为1－52，0∪1，1＋52.(2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5]．考向二求函数的解析式【例2】►(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．[审题视点](1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．解(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．(2)已知f(x)＋2f(1x)＝2x＋1，求f(x)．解(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1∴2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝12，b＝12.因此f(x)＝12x2＋12x.(2)由已知得fx＋2f1x＝2x＋1，f1x＋2fx＝2x＋1，消去f1x，得f(x)＝4＋x－2x23x.考向三分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)[审题视点]对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．解析f(x)≤2⇔x≤1，21－x≤2或x＞1，1－log2x≤2⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.答案D分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．【训练3】(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析分类讨论：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－32，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－34.综合(1)，(2)知a的值为－34.答案－34阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】►求函数y＝log13(x2－3x)的单调区间．错因忽视函数的定义域，把函数y＝log13t的定义域误认为R导致出错．实录设t＝x2－3x.∵函数t的对称轴为直线x＝32，故t在－∞，32上单调递减，在32，＋∞上单调递增．∴函数y＝log13(x2－3x)的单调递增区间是－∞，32，单调递减区间是32，＋∞.正解设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t的对称轴为直线x＝32，故t在(－∞，0)上单调递减，在()3，＋∞上单调递增．而函数y＝log13t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log13(x2－3x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【试一试】求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．[尝试解答]由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．又y＝log2t为单调增函数．故函数y＝log2(x2－2x－3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)．