第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直

6第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或模，记为AB或a。正如平面向量a可用坐标(x,y.)表示，空间向量a也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。在空间，知道向量a=（x，y，z）则，a=222zyx2、空间向量数量积①已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤，若＜a，b＞=2，称a与b垂直，记作a⊥b。②已知空间两个向量a、b，则abCOS＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作ba＝abCOS＜a，b＞若a⊥bba＝０③若已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）则ab＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，b＞＝222222212121212121..zyxzyxzzyyxxbaba例１如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC1，求向量1BD与1AE所成角的余弦值。C1B1Ａ1ＡＣＢD1E16练习：已知正方体ABCD—1111DCBA中，11EB=11FD=411BA，求向量1BE与1DF所成角的余弦值。二、利用向量证线线垂直与线面垂直例2在正方体ABCD—1111DCBA中，求证A1C⊥平面AB1D1练习：在正方体ABCD—1111DCBA中，O为底面ABCD的中心，P为DD1的中点，求证：B1O⊥平面PAC。例3如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC中点（1）求证：MN⊥CD（2）若∠PDA=450，求证：MN⊥平面PCDE1DA1F1D1AB1CBC1B1A1DCBAC1D1B1A1DCBAC1D1OPABCDPMN6练习：正方体ABCD—1111DCBA中，M是棱D1D中点，N是AD中点，P为棱A1B1上任一点。求证：NP⊥AM作业：1.如图，正方体ABCD—1111DCBA中，E是BB1中点，O是底面ABCD中心，求证：OE⊥平面D1AC.2.如图，正方体ABCD—1111DCBA中，O,M分别是BD1,AA1中点，求证：OM是异面直线AA1和BD1的公垂线.3、如图，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=900，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：CD⊥平面BDMCDMA1AC1BB1BNACDA1B1D1MPC1EOB1A1DCBAC1D1OMB1A1DCBAC1D164在棱长为a的正方体ABCD—1111DCBA中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱B1B上任一点，当MBMB1值为多少时能使D1M⊥平面EFB15、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，求证：AF⊥BD6、如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求证：A1B⊥B1CAA1MCBB1C1D1EFDFEDCBAC1B1Ａ1ＡＣＢ