第二轮第11讲数列问题的题型与方法

1第11讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二、方法技巧1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则na为等差数列；②若，则na为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2.在等差数列na中,有关nS的最值问题——常用邻项变号法求解：2(1)当1a0,d0时，满足100mmaa的项数m使得mS取最大值.(2)当1a0,d0时，满足100mmaa的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa或11nnnnaaaa而得。2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3．注意ns与na之间关系的转化。如：na=1100nnSSS21nn，na=nkkkaaa211)(．4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．四、例题解析例1．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn．(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线12，设l1与l2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{an}的公差d≠0，所以Kp1pk是常数(k=2，3，…，n)．3(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．例2．已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和。分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有S1n=4an+2，可由S2n-S1n作切入点探索解题的途径．解：(1)由S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两式相减，得S2n-S1n=4(a1n-an)，即a2n=4a1n-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成b1n与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a2n-2a1n=2(a1n-2an)，又bn=a1n-2an，所以b1n=2bn①已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3②由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·21n．当n≥2时，Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为Sn=21n(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．4例3．（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=31（an-1）(nN+),（1）求a1;a2;(2)求证数列{an}为等比数列。解:(Ⅰ)由)1(3111aS,得)1(3111aa∴1a21又)1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.(Ⅱ)当n1时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21,公比为21的等比数列.例4、（04年重庆）设a1=1,a2=35,an+2=35an+1-32an(n=1,2,---),令bn=an+1-an(n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列{nan}的前n项的和Sn。解：（I）因121nnnaab1115222()3333nnnnnnaaaaab故{bn}是公比为32的等比数列，且故,32121aab),2,1()32(nbnn（II）由得nnnnaab)32(1)()()(121111aaaaaaaannnnn])32(1[232)32()32()32(21nnn注意到,11a可得),2,1(3231nannn记数列}32{11nnn的前n项和为Tn，则1222222212(),2()()333333nnnnTnTn2112222221()()()3[1()](),3333333nnnnnTnn两式相减得1112122(3)29[1()]3()93333(3)223(12)2(1)1823nnnnnnnnnnnTnnSaananTnn故从而例5．在直角坐标平面上有一点列),(,),(),,(222111nnnyxPyxPyxP，对一切正整数n，点nP5位于函数4133xy的图象上，且nP的横坐标构成以25为首项，1为公差的等差数列nx。⑴求点nP的坐标；⑵设抛物线列,,,,,321ncccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点)1,0(2nDn，记与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：nnkkkkkk13221111。⑶设1,4|,1,,2|nyyyTnNnxxxSnn，等差数列na的任一项TSan，其中1a是TS中的最大数，12526510a，求na的通项公式。解：（1）23)1()1(25nnxn1353533,(,3)4424nnnyxnPnn（2）nc的对称轴垂直于x轴，且顶点为nP.设nc的方程为：,4512)232(2nnxay把)1,0(2nDn代入上式，得1a，nc的方程为：1)32(22nxnxy。32|0'nykxn，)321121(21)32)(12(111nnnnkknnnnkkkkkk13221111)]321121()9171()7151[(21nn=641101)32151(21nn（3）}1,),32(|{nNnnxxS，}1,),512(|{nNnnyyT}1,,3)16(2|{nNnnyy,STTT中最大数171a.设}{na公差为d，则)125,265(91710da，由此得).(247,24),(12,129248**NnnadNmmdTadnn又说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出nk，解决（3）的关键在于算出ST及求数列na的公差。例6．数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122*Nn⑴求数列na的通项公式；⑵设||||||21nnaaaS，求nS；⑶设nb=)12(1nan)(),(*21*NnbbbTNnnn，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，nnnnaaaa112，}{na为等差数列，设公差为d，6由题意得2382dd，nnan210)1(28.（2）若50210nn则，||||||,521nnaaaSn时21281029,2nnaaannn6n时，nnaaaaaaS765214092)(2555nnSSSSSnn故nS409922nnnn65nn（3）)111(21)1(21)12(1nnnnanbnnnT)]111()111()4131()3121()211[(21nnnn.)1(2nn若32mTn对任意*Nn成立，即161mnn对任意*Nn成立，)(1*Nnnn的最小值是21，,2116mm的最大整数值是7。即存在最大整数,7m使对任意*Nn，均有.32mTn说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.五、强化训练（一）用基本量方法解题1、（04年浙江）已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2=（B）A－4B－6C－8D－10（二）用赋值法解题2、（96年）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C）A130B170C210D2603、（01年）设{an}是公比为q的等比数列，Sn是{an}的前n项和,若{Sn}是等差数列，则q=__1_4、设数列{an}的前项的和Sn=2)13(1na（对于所有n1），且a4=54,则a1=__2___（三）用整体化方法解题5、（00年）已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有（C）Aa1+a1010Ba2+a1000Ca3+a99=0Da51=516、（02年）若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A）A13B12C11D107、（03年上海）在等差数列{an}中a5=3，a6=-2,a4+a5+…+a10=-49（四）用函数