第二部分专题五第三讲第一课时冲刺直击高考

限时：40分钟满分：48分1．(满分12分)(2012·新课标全国卷)设抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝2p.因为△ABD的面积为42，所以12|BD|·d＝42，即12×2p×2p＝42，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，即∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－233px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.2．(满分12分)(2012·潍坊模拟)已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的离心率e＝33.直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证这两条切线互相垂直．解：(1)设椭圆E的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝61＋1＝3，则直线l被圆O截得的弦长为25－3＝22，故b＝2.由题意得ca＝33，a2＝b2＋c2，又∵b＝2，∴a2＝3，b2＝2.∴椭圆E的方程为y23＋x22＝1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，整理得y＝kx＋y0－kx0.联立直线l0与椭圆E的方程得y＝kx＋y0－kx0，y23＋x22＝1，.消去y得2[kx＋(y0－kx0)]2＋3x2－6＝0，整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x20)k2＋2kx0y0－(y20－3)＝0.设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1、k2，则k1·k2＝－y20－32－x20.∵点P在圆O上，∴x20＋y20＝5，∴k1·k2＝－5－x20－32－x20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1，∴两条切线互相垂直．3．(满分12分)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A(0，2)，且离心率等于32，过点M(0,2)的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM||PN|＝|MQ||NQ|＝λ，若直线l与y轴不重合，试求λ的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由于椭圆的一个顶点是A(0，2)，故b2＝2，根据离心率是32，得ca＝a2－b2a2＝32，解得a2＝8，所以椭圆的标准方程是x28＋y22＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)．设直线l的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立消去y得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，根据韦达定理得x1＋x2＝－16k1＋4k2，x1x2＝81＋4k2.由|PM||PN|＝|MQ||NQ|，得0－x1x1－x0＝0－x2x0－x2，整理得2x1x2＝x0(x1＋x2)，把x1＋x2与x1·x2代入得x0＝－1k，又因为点N在直线y＝kx＋2上，所以y0＝k－1k＋2＝1，于是有1y12，λ＝2－y1y1－1＝1y1－1－1，由1y12，得1y1－12＋1，所以λ2.综上所述λ的取值范围是(2，＋∞)．4．(满分12分)设点P是曲线C：x2＝2py(p0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋p2＝54，解得p＝12.所以曲线C的方程为x2＝y.(2)由题意知直线PQ的方程为：y＝k(x－1)＋1，则点M1－1k，0联立方程y＝kx－1＋1，y＝x2，消去y得x2－kx＋k－1＝0，解得x1＝1，x2＝k－1，则Q(k－1，(k－1)2)．所以直线QN的方程为y－(k－1)2＝－1k(x－k＋1)，代入曲线y＝x2中，得x2＋1kx－1＋1k－(1－k)2＝0，解得x3＝k－1，x4＝1－1k－k，则N1－1k－k，1－k－1k2.所以直线MN的斜率kMN＝1－k－1k21－1k－k－1－1k＝－1－k－1k2k.又易知过点N的切线的斜率k′＝21－k－1k.由题意有－1－k－1k2k＝21－k－1k.解得k＝－1±52.故存在实数k＝－1±52满足题意．