第五单元三角函数

1第五单元三角函数一教学要求1.了解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念.2.理解弧度的意义，掌握特殊角的弧度与角度的换算，会用计算器进行弧与角度的换算，培养学生正确使用科学型计算器的能力.3.理解任意角的正弦、余弦、正切函数的概念，熟记三角函数在各象限的符号.4.理解同角三角函数基本关系式，会用公式解决“已知任意角的一个三角函数值，求其他两个三角函数值”的问题，培养学生数据处理技能.5.了解诱导公式的推导及简单应用，提高学生数学思维能力.6.理解正弦函数的图像和性质，了解余弦函数的图像和性质，培养学生的观察能力.7.掌握利用计算器求角度，提高学生计算工具的使用技能.8.了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法，培养学生有条理的思考和解决问题.二教材分析和教学建议（一）编写思路本单元教材的内容是三角函数的定义、图像、性质及应用.三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用.本教材以单位圆及几何中的对称性为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生在学习过程中初步了解代数与几何的联系，这有利于培养学生综合应用数学知识解决某些实际问题的能力.高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都要应用到三角函数的知识，因此，这些知识既是解决生产技术实际问题的有力工具，又是进一步学习数学的必要基础.本单元知识可分为三大部分：第一部分主要介绍任意角的三角函数.教材从学生已有的知识实际出发，全面地阐述了角的概念及其推广，引入任意角的概念，特别强调了建立角的弧度制的意义，从而使角的集合与实数集之间建立起一种直接的一一对应关系.这里所讲的“直接”是指一个角的弧度数就是它所对应的那个实数，而较之角度制减少了单位换算的麻烦.正是在此基础上，教材把2初中所学的三角函数推广到任意角的范围，并使角的度量由角度制（60进制）自然地过渡到弧度制（10进制）.由此三角函数可以看做是以实数为自变量的函数，从而使三角函数具有广泛的意义.任意角的三角函数应用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能体现初中所学锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有知识基础出发学习三角函数.接着讨论了任意角三角函数值的符号，从定义出发导出了特殊象限角的三角函数值.第二部分主要介绍三角函数公式.在三角函数定义的基础上推导出同角三角函数的两个最基本的关系式，同时以平面几何中图形的轴对称、中心对称为基础推导三角函数的简化公式，使得求任意角的三角函数值的问题更为方便.第三部分主要介绍三角函数的图像和性质.教材首先用描点法做出正弦函数和余弦函数的图像，在基本掌握正弦曲线和余弦曲线的形状特征的基础上，对学习基础较好的学生可以在归纳“五点法”作简图的方法.教材依据图像的直观性，直接阐述了正弦函数和余弦函数的主要性质.本单元教材的重点是三角函数的概念，同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性，正弦函数的图像和性质，并能利用计算器求任意角三角函数值及已知三角函数值求角的问题.难点是弧度制，周期的概念及综合应用三角公式进行化简和证明.（二）课时分配本单元教学时间约为18课时，分配如下（仅供参考）：5.1角的概念的推广2课时5.2弧度制1课时5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切2课时5.4利用计算器求三角函数值1课时5.5同角三角函数基本关系式2课时5.6诱导公式3课时5.7正弦函数的图像和性质2课时5.8余弦函数的图像和性质1课时5.9利用计算器求角度1课时5.10已知三角函数值求指定范围内的角1课时归纳与总结2课时3（三）内容分析与教学建议5.1角的概念的推广1.教材从初中有关角的知识出发，以螺帽拧紧，旋转一周、两周……所转过的角度为例，说明日常生活与生产实际中存在大量未曾认识的角.本小节主要任务帮助学生理解并掌握正角、负角的概念.2.从角的形成说起，由于客观上存在着因旋转方向相反而形成两种不同的角，因而根据习惯规定了正角和负角，零角的补充，目的在于使角的集合和实数集一样具有完备性.3.在教学中要强调任意大小的角在直角坐标系中的放置方法：（1）角的顶点和坐标原点重合；（2）使角的始边和x轴的非负半轴重合.这样，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角，否则就不能根据它的终边位置来判断它属于第几象限.4.应该让学生明白，任意一个角可能属于某个象限也可能不属于任何象限，而不属于任何象限的角（即终边落在坐标轴上的角）是一种重要的特殊角，在三角函数值的计算、三角函数定义域的确定、三角方程求解等问题中经常会遇到，因此要求学习基础比较差的学生可以了解一下这些角，而对于基础较好的学生可以要求掌握这些角的表达式.5.准确区分0°～90°的角、锐角、小于90°的角、第一象限的角和第二象限的角、钝角等.角的概念推广后，应从角的集合的表达形式入手，通过反复练习，使学生能正确理解.{0°～90°的角}={x|0°≤x≤90°}；{锐角}={x|0°＜x＜90°}；{第一象限的角}={x|k·360°＜x＜90°+k·360°，k∈Z}；{第二象限的角}={x|90°+k·360°＜x＜180°+k·360°，k∈Z}；{钝角}={x|90°＜x＜180°}.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，如-330°和750°都是第一象限角，但它们都不是锐角.钝角亦然.6.教师讲解与角终边相同的角的集合S={x|x=+k·360°，k∈Z}时，应指出：（1）k是任意整数；（2）是任意角（包括正角、负角和零角）；（3）与360k之间是用“+”号连接的，如360k应变成360)(k；4（4）终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.7.在教学中应使学生明白，与某一个角终边相同的角的表达形式不是唯一的.如与-45°角终边相同的角的表达式可写成360k-45°，也可以写成360k+315°或360k-405°等等，这里k∈Z.尽管表达式不同，但它们都表示与-45°终边相同的角.8.对于终边在特殊位置的角的集合，列表表示如下：（1）象限角的集合：象限角角的集合第一象限角{x|k·360°＜x＜90°+k·360°，k∈Z}第二象限角{x|90°+k·360°＜x＜180°+k·360°，k∈Z}第三象限角{x|180°+k·360°＜x＜270°+k·360°，k∈Z}第四象限角{x|270°+k·360°＜x＜360°+k·360°，k∈Z}（2）终边在坐标轴上的角的集合：终边位置角的集合终边在x轴的正半轴上{x|x=k·360°，k∈Z}终边在x轴的负半轴上{x|x=180°+k·360°，k∈Z}终边在x轴上{x|x=k·180°，k∈Z}终边在y轴的正半轴上{x|x=90°+k·360°，k∈Z}终边在y轴的负半轴上{x|x=-90°+k·360°，k∈Z}终边在y轴上{x|x=90°+k·180°，k∈Z}终边在坐标轴上{x|x=k·90°，k∈Z}象限角集合和轴线角集合，集合的表达形式也不是唯一的，它们还有其他表达形式.如第四象限角的集合还可以表示为{x|k·360°-90°＜x＜k·360°，k∈Z}；终边在y轴负半轴上角的集合可以表示为{x|x=270°+k·360°，k∈Z}。还要指出，每个象限角集合中既有正角，又有负角.5.2弧度制教材通过类比引出另一种度量角的制度——弧度制.介绍了1弧度角的概念，由弧度数的绝对值公式推出弧度与角度的换算关系.在此基础上，通过具体例子巩固所学概念和换算公式，进一步认识引入弧度制的必要性，使学生在探索和解决问题的过程中，更好地形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意三角函数奠定基础.51.在教学中应强调弧度制和角度制是两种单位不同（前者是“弧度”，采用10进制，后者是“度”，采用60进制）的度量角的制度.应使学生理解：要建立一种度量制，就必须确定它的度量单位，如在日常生活中，长度的单位是米，角度的单位是度.那么，弧度制的单位是如何规定的？这可以使用教具加以演示得出.要使学生明确，1弧度是指等于半径的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是指圆周的3601所对的圆心角（或该弧）的大小；1弧度的角或1度的角，它们的大小各自确定与半径的大小无关.为了说明这个问题，可以让学生先任意画一个圆，用一段等于半径的铅丝弯成弧形，使它与圆周的某一段重合，再从圆心向这段弧的两个端点引射线，得到一个圆心角，这就是1弧度的圆心角.再让学生画一个与第一个半径不相等的圆，用同样的方法做出1弧度的圆心角，然后用量角器量这两个圆心角，可以看出它们是相等的.这样，我们可以比较直观的得出：当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取半径无关.因此用一个角所对的弧长与半径的比来度量这个角是合理的.上面的结论也可以进行如下数学证明.如图5-1，假设射线上有任意不同于O的两点P和P1，OP=r，OP1=r1，当射线绕端点O旋转形成定角=n°，点P和P1也就分别形成圆弧PQ和圆弧P1Q1，它们的长分别为l和l1，由弧长公式，得l=180rn，l1=1801rn.明显地，当r≠r1时，l≠l1.但是18011nrlrl.这说明以为圆心角所对的弧长的半径的比值是一个仅与的大小有关的定值（因为确定时，n为定值。这时180n为定值）.最后，选取弧度做单位，这时rl就是定角的弧度数.（注意：如果选取度做单位也可以，这时，rl是的角度数与180n的乘积，仍是的弧度数.）2.弧度制的概念是本章教材的难点之一，而弧度制的建立又是本节的难点，因此必须以弧度制的建立为突破口着重解决这一难题.解决这个难题的关键在于让学生弄明白1弧度的角到底是怎样大小的角。除了借助几何直观的方式使学生有感性认识外，对于学习基础较好的学生还可以做以下推导：OQQ1P1Pl1lr1r图5-16设圆半径为r，圆弧长为l=r，该圆弧所对的圆心角为n°，由角度制下的弧长公式l=180rn，现rl，于是r=180rn，所以n=180.这就是说等于半径的圆弧所对的圆心角是一个恒定的值.在角度制下，这个圆心角等于o180.也就是说，1弧度的角等于o180≈57°17′44.8″的角.3.在教学中还必须强调用弧度制度量角的意义.可使角的集合与实数集建立起一种直接的一一对应的关系.此时，一个角的弧度数就是这个角所对应的实数.同时也应强调弧度可记做rad，这样表示更加简便.如3rad的角正数3，-5rad的角负数-5.弧度数和实数之间不需要进行单位换算，这给三角函数的研究带来了极大的方便.例如，画正弦函数y=sinx在长度为一周期的闭区间上的图像，我们可以画出x∈[0,2]，y∈[-1,1]内的函数图像，这里横轴和纵轴的长度单位都是相等的.当然也应该指出用其他度量角的制度（如角度制）也可以在角的集合和实数集之间建立起一种一一对应的关系，但因存在着角的量数与它所对应的实数比值不同而须进行换算的问题，自然不如采用弧度制方便.4.在教学时，应强调用公式||=rl求圆心角，所得的结果是该圆心角的弧度数的绝对值.该公式还有另外两种形式：l=||r和r=||l，利用上面两种形式求弧长或半径时，的单位必须是弧度.如果给定角的单位是度，那么，应把这个角的单位化成弧度（这里可用公式180n，该公式表示n°的角的弧度数和n之间的关系），然后再计算.5.度和弧度是度量角的两种不同的单位，它们之间可通过关系式180°=rad进行换算.在教学时，应注意突出关系式360°=2rad的来历，这一点教材中是注意到的，但过渡较快.在讲解中可让学生结合图5-2（教师也可做必要的指导）加深理解.图5-2在教学中必须要求学生熟记特殊角的弧度数.在进行度与弧度的换算时，应会利用特殊角的度数与弧度数的对应关系.如将67化成度时，则有Orr1弧度(1)Or2r(2)767=7×6=7×30°=2