第五章不定积分

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。教学重点：原函数与不定积分的概念。教学难点：原函数的求法。教学内容：一、原函数与不定积分定义1如果对任一Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(则称)(xF为)(xf在区间I上的原函数。例如：xxcos)(sin，即xsin是xcos的原函数。2211)1ln([xxx，即)1ln(2xx是211x的原函数。原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I上连续，则)(xf在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，有)()(xfxF。注1：如果)(xf有一个原函数，则)(xf就有无穷多个原函数。设)(xF是)(xf的原函数，则)(])([xfCxF，即CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数。注2：如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I上的原函数，则)(xF与)(xG之差为常数，即CxGxF)()(（C为常数）注3：如果)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数，则CxF)(（C为任意常数）可表达)(xf的任意一个原函数。定义2在区间I上，)(xf的带有任意常数项的原函数，成为)(xf在区间I上的不定积分，记为dxxf)(。如果)(xF为)(xf的一个原函数，则CxFdxxf)()(，（C为任意常数）例1．因为23)3(xx，得Cxdsx332例2．因为，0x时，xx1)(ln；0x时，xxxx1)(1])[ln(，得xx1)||(ln，因此有Cxdxx||ln1例3．设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。解：设曲线方程为)(xfy，其上任一点),(yx处切线的斜率为xdxdy2从而Cxxdxy22由2)1(y，得1C，因此所求曲线方程为12xy由原函数与不定积分的概念可得：1))()(xfdxxfdxd2)dxxfdxxfd)()(3)CxFdxxF)()(4)CxFxdF)()(5)Cxdx二、积分公式1)Ckxkdx(k为常数)2)Cxdxx11(1)3)Cxxdx||ln4)Cxxdxarctan125)Cxxdxarcsin126)Cxxdxsincos7)Cxxdxcossin8)Cxxdxxdxtanseccos229)Cxxdxxdxcotcscsin2210)Cxxdxxsectansec11)Cxxdxxcsccotcsc12)Cedxexx13)Caadxaxxln14)Cxxdxcoshsinh15)Cxxdxsinhcosh例4．Cxdxxdxxx2725272三、不定积分的性质性质1．dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([性质2．dxxfkdxxkf)()(，（k为常数，0k）例5求dxxx)5(2解：CxxxxCxxdxxdxxdxxxdxxx31072310725)5()5(32327212521252例6求dxxx23)1(解：CxxxxCxxdxxxxdxxxxxdxxx1||ln33231072)133(133)1(22327222323例7求dxexexxx)2cos3(解：CexeCeexedxexdxdxedxexexxxxxxxxx2ln1)2(sin3)2ln()2(sin3)2(cos3)2cos3(例8．求dxxxxx)1(122解：Cxxdxxdxxdxxxxxdxxxxxarctan||ln111)1()1()1(122222例9．求xdx2tan解：Cxxdxxdxdxxxdxtansec)1(sectan222例10．求dxx2sin2解：Cxxxdxdxdxxdxx)sin(21cos21212cos12sin2四、小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用五、作业：P144第二节换元积分法教学目的：使学生掌握不定积分的第一类换元法和第二类换元法。教学重点：不定积分的第一类换元法。教学难点：不定积分的第二类换元法。教学内容：一、第一类换元积分法设)(uF为)(uf的原函数，即)()(ufuF或CuFduuf)()(如果)(xu，且)(x可微，则)()]([)()()()()]([xxfxufxuFxFdxd即)]([xF为)()]([xxf的原函数，或)()(])([])([)]([)()]([xuxuduufCuFCxFdxxxf因此有定理1设)(uF为)(uf的原函数，)(xu可微，则)(])([)()]([xuduufdxxxf(2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。例1．求xdx2cos2解：Cxxxddxxxxdx2sin22cos)2(2cos2cos2例2．求dxx231解：Cxxdxdxxxdxx|23|ln21)23(23121)23(23121231例3．求dxxxxxex)tan12(22解：原式=dxxxdxxxdxxexcossin1222Cxxexdxxdxdxexx|cos|ln)1(31coscos1)1()1(212322212222例4．求dxxa221，解：Caxaaxdaxadxaxadxxaarctan1)()(111)(111122222例5．求dxax221解：dxaxaxadxax)11(21122CaxaxaCaxaxaaxdaxaxdaxa||ln21|]|ln||[ln21)](1)(1[21例6．求dxexxxx]1)ln21(1[3解：dxexdxxxdxexxxxx331)ln21(1]1)ln21(1[Cexxdexdxxx3332|ln21|ln21332)ln21(ln21121例7．求xdx2cos解：]2cos[2122cos1cos2xdxdxdxxxdxCxxxxdx2sin41222cos412例8．求xdxsec解：dxxxdxcos1secCxxCxxxdx|tansec|ln|)2cot()2cos(|ln)2()2sin(1二、第二类换元积分法定理2设)(tx是单调的可导函数，且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，则)()()]([)(xtdtttfdxxf(2-2)其中)(xt为)(tx的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例9．求dxxa22，)0(a解：令taxsin，22t，则taxacos22，tdtadxcos，因此有CxaxaxCaxaaxaaxCttatCtatdtttdttdtatadxxa222222222222222221arcsin2a2arcsin2acossin22a2sin42a22cos1acosacoscos例10．求22xadx，)0(a解：令taxtan，22t，则taxasec22，tdtadx2sec，因此有12222222||ln||ln|tansec|lnsecsecsec1CaxxCaxaxaCtttdttdtataxadx其中aCCln1。用类似方法可得Caxxaxdx||ln2222例11．求322xxdx解：dxxxxxdx21213222Cxxdx21arctan21)1()2()1(122三、小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即taxsin或taxcos，taxtan与taxsec，分别适用于三类函数)(22xaf，)(22axf与)(22axf。“倒代换”tx1也属于第二类换元法。四、作业：P148第三节分部积分法教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。教学重点：不定积分的分部积分法。教学难点：分部积分法中u与dv的选取。教学内容：设)(xuu，)(xvv，则有vuvuvu)(或dvuduvvud)(两端求不定积分，得dxvudxuvdxvu)(或dvuduvvud)(即duvvudvu(3-1)或dxuvvudxvu(3-2)公式(3-1)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。例1．求xdxxcos解：xxdxdxxsincosCxxxxdxxxcossinsinsin例2．求dxexx2解：xxdexdxex22Cexeexdxexeexdxxeexdxeexxxxxxxxxxx22)(2222222注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部分取为dv。例3．求xdxxln解：2ln21lnxdxxdxxCxxxCxxxxdxxxxdxxx222222241ln2121ln21ln21lnln21例4．求xdxxarctan解：2arctan21arctanxdxxdxxCxxxxdxxxxdxxxxxxdxxxarctanarctan21)111(arctan211arctan21arctanarctan2122222222注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为u，其余部分取为dv。例5．求xdxexsin解：xxxdexdxesinsinxdxexexexdexexexdexexdxexexdexexxxxxxxxxxxxsincossin)coscos(sincossincossinsinsin因此得)cos(sinsin2xxexdxexx即Cxxexdxexx)cos(sin21sin例6．求dxex解：令tx，则2tx，tdtdx2，因此CxeCetedttetdtedxexttttx)1(2222小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。作业：P152第四节几种特殊类型函数的积分教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。教学重点：有理函数的积分。教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。教学内容：一、有理函数的积分形如mmmmnnnnaxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()((4-1)称为有理函数。其中naaaa,,,,