第五章二次曲线的一般理论

第五章二次曲线的一般理论主要问题：（1）几何性质（2）化简（3）分类5.1二次曲线与直线的相关位置（xyyxyxyx240256102222与）一、预备知识1、在平面上由)1(0222),(33231322212211ayaxayaxyaxayxF所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点bkxyyxF0),()222,222(2)222,222(122iiyxiiyx平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(yx表示平面上一个点，如果yx,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(yx表示平面上一个点。（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号33231322212211222),(ayaxayaxyaxayxF'131211121),(xFayaxayxF'232212221),(yFayaxayxF3323133),(ayaxayxF222122112),(yaxyaxayx容易验证：),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF332313232212131211aaaaaaaaaA二次曲线)(的矩阵22121211aaaaA),(yx的矩阵AIaaaaIaaI322121211222111,,33232322331313111aaaaaaaak例：写出下列二次曲线的矩阵321,,FFFA及04762)3(2)2(1)1(2222222yxyxyxxybyax二、相关位置二次曲线0),(yxF与过点且具有方向YX:的直线YtyyXtxx00联立，0),(]),(),([2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX1、),(),(]),(),([,0),(002002001yxFYXYyxFXyxFYX010方程有两个不等实根21,tt有两个不同的实交点020方程有两个相等实根21,tt有两个相互重合的实交点030方程有两个共轭虚根交于两个共轭的虚点2、0),(YX0),(),(10020010YyxFXyxF，有唯一实根有唯一实交点0),(0),(),(2000020010yxFYyxFXyxF而没有交点0),(0),(),(3000020010yxFYyxFXyxF且直线全部在二次曲线上eg1、试确定的值k使直线05yx与二次曲线032kyxx交于两个不同实点，043122yxyyxtkyktx与二次曲线交于一点注：平面直线方程：YyyXxx00bkxyYtyyXtxx005.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足YXYX:0),(的方向叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向)1(02),(22212211YaXYaXaYX渐近方向YX:总有确定的点2、按渐近方向分类若112122212211110)(2)()1(,0aIaYXaYXaYXaa改写成若22212220aIaXYa若,02211aa则一定有100:1012或YXa此时00021212122aaaI故02I二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向02I二次曲线有一个渐近的实方向02I二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（1）02I椭圆形曲线122yx（2）02I抛物线曲线2xy（3）02I双曲型曲线122yx二、二次曲线的中心与渐近线定义：如果点c是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c是二次曲线的中心),(00yxc是二次曲线的中心0),(0),(002001yxFyxF推论：)0,0(是二次曲线的中心曲线方程不含yx与的一次项证：将直线方程代入，得：0),(]),(),([2),(000020012yxFtYyxFXyxFtYX由于),(000yxM是两交点的中心021tt0),(),(002001YyxFXyxF由于YX:为任意非渐近方向0),(0),(002001yxFyxF003302201213012011ayaxaayaxa（1）若有唯一中心方程有唯一解0221212112aaaaI（2）若—中心直线—中心上所有点都是二次曲线直线有无穷解）（无中心无解）（即0210131211231322121211231322121211221212112ayaxaaaaaaaaaaaaaaaaaI二次曲线2313221212112313221212112200aaaaaaaaaaaaII线心曲线无心曲线非中心曲线中心曲线：定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。Th1、二次曲线的渐近线与其二次曲线或者没有交点，或者整条直线在二次曲线上。判断二次曲线01224422yxyxyx是中心曲线，无心曲线还是线心曲线0)23)(3(0266922yxyxyxyxyx线心曲线0122222yxyxyx线心曲线022yx22222,1,1xyyxyx5.5、二次曲线的主直径与主方向1、主直径、主方向、轴、质点2、二次曲线的特征方程0021222121211IIaaaa即th1、一个方向YX:成为二次曲线主方向的条件是YYaXaXYaXa22121211成立，其中是特征方程的根证明：01若二次曲线为中心二次曲线)0(2I与YX:共轭的直径为''21:,0),(),(YXyxYFyxXF设其方向为则)(:)(:12112212''YaXaYaXaYXXYYXYYXX::0''''012112212其中XYaXaYYaXa02若非中心二次曲线)0(2I任何直径方向总是唯一的渐近方向)(:::1222111211aaaaYX而垂直于它的方向显然为2212121122:::aaaaYXeg1、求01),(22yxyxyxF的主方向与主直径解：043121211,221II曲线为中心曲线，特征方程为0432223,2121由211确定的主方向为1:1:11YX由232确定的主方向为1:1:22YXeg2、求042),(22xyxyxyxF的主方向与主直径5.6、二次曲线的化简与分类一、平面直角坐标变换1、移轴0'0'yyyxxx),(00yx为新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标2、转轴cossinsincoscossinsincos''''''yxyyxxyxyyxx或3、一般情形)cossin(cossin)sincos(sincoscossinsincos00'00'0''0''yxyxyyxyxxyyxyxyxx或4、2222222'BACyBxAx2121111'BACyBxAy)2()1(2121111'2222222'BACyBxAyBACyBxAx为了使新坐标系仍是右手系，使（1）式中x的符号与（2）式中y的符号相同eg1、已知两垂直的直线轴，为取与''121,022:032:xolyxlyxl取''2yol为轴，求坐标二、二次曲线的化简与分类1、移轴F，曲线方程系数的变化01二次项系数不变02一次项系数变为),(2),(2002001yxFyxF与03常数项变为),(00yxF2、转轴下，二次曲线系数的变化规律01二次项系数要改变，但仅与原方程的二次项系数及旋转角有关02一次项系数一般要改变，但仅与原方程的一次项系数及旋转角有关当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程没有一次项时，通过转轴也不会完全产生一次项。03常数项不变通过转轴使新方程的0'12a，只须12221122aaactg02cos22sin)(0)sin(coscossin)(12112222121122'12aaaaaaa12121122aaactg几何意义：把坐标旋转到与二次曲线的主方向平行的位置1222112212121122122212222122121122122212)(1212aaaaaaaaaaaaatgtgctgaaaaXYtg总结：通过转轴与移轴化简二次曲线方程实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置因此，二次曲线的化简，只要先求出它的主直径，以其作为新坐标轴即可如果是中心曲线，有且只有一对相互垂直从二又相互共轭的主直径，主直径的交点恰是曲线的中心，化简后，坐标原点与中心重合如果是无心曲线，只有一条主直径，化简后，坐标原点与曲线的中心重合如果是线心曲线，只有一条主直径，坐标原点与曲线的任何一个中心重合若是中心曲线，选取新坐标系原点与曲线的中心重合，坐标轴与主直径重合（除圆外）若是无心曲线，选取新坐标系原点与曲线的顶点重合，坐标轴与主直径重合eg1、化简二次曲线方程0211010322yxyxyx，并作出它的图形215551235231A，45,221II2222222222''''yxyyxx，0125212'2'yx25,210452212两个主方向1:1:,1:1:2211YXYXeg2、化简02222yxyxyx1:1:,022YX0430)21()1(yxyxyx即顶点089),165,163(yx化简二次曲线02222yxyxyx解：02112111111A0,221II曲线为非中心曲线，它的特征方程为022特征根为：2,021非渐近方向为：1:1:YX曲线的主直径为：0430)21()1(yxyxyx即曲线的顶点为：)1615,163(过点)1615,163(且与043yx垂直的直线方程为089yx取主直径为新坐标轴的'x轴，垂直与主直径且过点)1615,163(的直线为'y轴变换公式为16522221632222243289'''''yxyyxxyxyxx代入已知方程得0222'2'xy特征方程：'2'42xy化简0211010322yxyxyx解：215551235231A，45,221II曲线为中心曲线，特征方程为：25,2104522121:1:,1:1:2211YXYX040yxyx与两条主直径为th1、适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个)0(0)3()0(02)2()0(0)1(2233222132213222221133222211aayaaaxayaaaayaxa中心曲线：取它的一对即共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系022233231322212211ayaxayaxyax