第五章整式的整除

浙江版七年级数学下第五章《整式的乘除》教材分析本章是继七年级上册第四章《代数式》中学习了整式（代数式）及其加减运算后，初中阶段对整式的第二次的研究，是七年级上册第四章的延续和发展，它与整式加减一样是整式运算的重要内容。本章的主要内容有同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，以及单项式与单项式相乘、单项式和多项式相乘、多项式和多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算，以及零指数、负整数指数幂的意义和用科学记数法表示绝对值较小的数等。单项式与多项式、多项式与多项式的乘法等最终都转化为同底数幂的乘法进行，因此同底数幂的乘法是整式乘法的基础，所以同底数幂的运算法则和整式的乘法是本章教学的基础，整式的乘除法不仅是七年级上册代数式及整式的加减的后续学习，也是继续学习本册第六章《因式分解》和第七章《分式》，以及以后将学习的方程、函数以及其它数学知识的重要基础和工具，另外，整式的运算在生活和生产实践中也有着广泛的应用，因此是本章学习的重点；其中多项式与多项式相乘要综合运用分配律，乘法交换律以及幂的运算法则，而零指数幂和负整数指数幂的概念比较抽象，是本章教学的难点。一、本教学内容的具体编排：《整式的乘除》在新老两册浙江版数学教材中都有篇幅比较大的内容，而且与老教材相比，总的来说新教材在内容上的改变得不算很大。具体的，我们可以做一个比较。新教材七年级下册第五章《整式的乘除》：§5.1同底数幂的乘法（三课时）积的乘方幂的乘方同底数幂的乘法321§5.2单项式的乘法§5.3多项式的乘法§5.4乘法公式（二课时）完全平方公式平方差公式21§5.5整式的化简§5.6同底数幂的除法（二课时）指数幂和负整数指数幂同底数幂的除法021§5.7整式的除法§小结＆目标与评定而老浙江版把初一年级下册第六章《整式的乘除》相应的内容分为三个单元：㈠整式的乘法：▲6.8同底数幂的乘法▲6.9幂的乘方▲6.10单项式的乘法▲6.11积的乘方▲6.12单项式乘以多项式▲6.13多项式的乘法▲6.14多项式乘法举例㈡乘法公式：▲6.15平方差公式▲6.16运用平方差公式计算举例▲6.17完全平方公式▲6.18运用完全平方公式计算举例▲6.19立方和差公式*㈢整式的除法：▲6.20同底数幂的除法▲6.21单项式除以单项式▲6.22多项式除以单项式▲6.23多项式除以多项式*▲6.24零指数幂和负整数指数幂▲6.25整数范围内的运算二、新老教材对本教学内容的编写上的区别：1、内容的删选：①与老教材相比：新教材在内容上，删去了立方和差、多项式除以多项式的内容（老教材中的选学内容）；②增加了在计算器中用科学记数法表示绝对值较小的数的教学内容（在《同底数幂的除法》一课的做一做中出现）。2、编排逻辑上的区别：老教材在整式的乘除的内容之前有整式加减的内容，而且整式的乘除的基本排列是同底数幂的乘法→幂的乘方→单项式的乘法→积的乘方→单项式乘以多项式→多项式的乘法；而新教材中整式加减的内容在七年级上册《代数式》一章中就已经接触了简单代数式的加减运算，时间相隔较长，对学生的学习（在起始环节）可能会不如老教材得心应手，但它在处理中是同底数幂的乘法→幂的乘方→积的乘方→单项式的乘法→单项式乘以多项式→多项式的乘法，总的来说是采用幂运算→整式运算的思路，这样的安排更易于初一学生接受。3、难度的降低：相比于老教材，新教材在课程的基本内容上大体与老教材相似，但相应学习内容的难度却大有降低。①新教材中的幂运算一般考虑的是整数指数幂的运算，基本不出现字母指数幂较为复杂的运算，如计算312mmaa、nnyxx2132、23ststts等，均不出现；出现的字母指数幂的情况，一般也仅限于公式的直接应用，教材P116作业题中出现的判断题nnnxx422（判断题相对而言，难度就降低了不少），教材P136作业题中出现的mmaa2（A组）、mmaa3（B组）。而且对底数是互为相反数的代数式的运算，如教材P114作业题中出现的3abba、如教材P136作业题中出现的239aaa等，基本也是安排在B组中。②、在多项式乘法的计算中，新教材也明显降低了要求，它仅限于一次式相乘，在乘法公式中只有平方差及和（差）的完全平方公式的应用，不仅删去了22bababa的立方和差，而且对于三项和的平方2cba、完全立方3ba也均不做要求，而且教材中的公式应用一般以直接应用两次公式为主，但在教材P127作业题中出现的112121212842，则需运用平方差公式4次，教材中安排的是一个C组题，是只对一部分尖子生的要求。而且在这里对于两数差的完全平方公式则采用以b代替b的方法得出。③本章中整式的除法仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式，而且只是考虑整除的情况（其中的多项式除以单项式的实质就是分配律以及单项式除以单项式的运算）。三、本章教材的编写特点：（一）将整式内容与现实世界中的数量关系相联系。1、在章前图和章前语中提供了整式乘除运算的实际背景，并介绍了整式乘除的作用：当没有专门的测量工具时，用步测估计广场的面积，可以用整式的乘法表示出广场的面积；当月球与地球之间的距离，以及宇宙飞船的速度用科学记数法表示时，可用整式的除法法则计算宇宙飞船从地球飞向月球所需的时间。2、每节的节前图和节前语，都介绍了整式乘除法的实际背景，由此引出整式乘除的有关内容，可说明在处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到整式的乘除法。课本提供的实际问题例子涉及很广，有宇宙中行星到地球距离的计算，天安门广场的步测面积和家家都有的厨房面积的表示，还有用布料拼做靠垫时隐含的数学知识等等，可使学生扩大知识面，来源于学生熟悉的生活又高于生活。3、重视运用整式乘除的有关内容解决实际问题。课本在5.1节同底数幂的乘法法则学习之后，设置例2，用同底数幂的乘法计算“神威Ⅰ”计算机工作一天运算的次数。本题既是同底数幂乘法法则的运用，也以次为载体进行爱国主义情感教育。在积的乘方法则学习之后，又安排例5，用积的乘方法则计算木星的体积。在5.4节完全平方公式学习之后，设置例4，用完全平方公式先对苗圃的面积进行化简。在5.5节整式的化简学习之后安排例2，化简两家超市营业额之差。另外在每节课的作业题中，都设计了相应需用所学知识解决的实际问题。（二）从学生已有的知识和经验出发，引导学生探索发现整式的乘除运算规律，遵循循序渐进的认知规律。1、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂相除的法则和整式的除法法则都是从“数”相应的运算入手，类此，过渡到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地顺应到原有的知识之中，使原有知识得到扩充和发展。2、整式的乘法运算规律的探索，从最简单的同底数幂的乘法规律的探索开始，步步深入——研究幂的乘方、积的乘方、两个单项式的乘法、单项式与多项式相乘，逐步过渡到多项式与多项式的乘法，使学生感到，每一个新规律的探索，都可以用原有的知识（幂的意义、乘法交换律、分配律）进行，只需归纳出其中的规律，使原有知识不断丰富、完善。在这里，用原有的知识探索发现新的规律，发现的新规律又是下一个新规律探索的基础，学习层次得以不断提高。整式除法的学习也是同样，从同底数幂相除运算法则的探索开始，到单项式与单项式相除，多项式除以单项式的运算规律探索，步步深入。（三）重视合作学习的设计，让学生在与同伴的合作、自主探究中探索、归纳整式乘除的运算法则。在同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、单项式与多项式相乘法则、两数和的完全平方公式的探索，以及整式的化简、零指数幂和负整数指数幂的意义、单项式除以单项式的学习中都设计了合作学习。（四）重视探究活动的设计，让学生的知识和数学学习方法得到进一步应用和拓展。1、在5.1节同底数幂的乘法法则的学习后，设计以学生熟悉和喜爱的智力玩具魔方为背景，探索大魔方体积的表示方法，体会幂的乘方的自然应用。2、在5.2节单项式的乘法的学习后，有让学生自己设计方案估算面积的问题，通过学生自己的实践，更好地体会单项式的乘法在生活中的应用。3、在5.5节整式的化简学习后，设计了末位数是5的两位数平凡的计算规律，进一步体会完全平方公式的应用。4、在5.6节负整数指数幂的学习后，设计了探索用10的负整数指数幂表示0.00……01这样形式的小数，使学生从中获得经验，拓展知识。四、本章总的教学要求：1、了解正整数指数幂的意义和基本性质。2、会进行简单的正整数指数幂的计算。3、会进行简单的整式乘法的运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘）。4、会推导乘法公式：22))(bababa（；2222)(bababa，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。5、了解零指数幂和负整数指数幂的意义，了解整数指数范围内幂的基本性质。6、会进行同底数幂相除的运算。7、会用科学记数法表示绝对值较小的数（包括在计算器上表示）。8、会进行简单的整式除法运算（仅指单项式除以单项式，多项式除以单项式）。五、具体地来说，本章各节内容分析：⑴§5.1同底数幂的乘法：第一课时，课本首先从一个国际空间研究小组站发现的第100颗行星与地球之间距离的计算引出数学运算或处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到同底数幂相乘的问题，由此引导学生进行合作学习，探索同底数幂相乘的规律，得出同底数幂的乘法法则。之后，又安排第二、第三课时，让学生继续通过合作学习，进一步探索幂的乘方和积的乘方的运算法则。在这三个法则的探索过程中，对乘方意义的理解和运用是关键，其中积的乘方法则的得出还需要用到乘法交换律。此外，课本在第二课时的最后安排了探究活动，以学生熟悉和喜爱的智力玩具魔方为背景，让学生通过探索大魔方的体积（可以用幂的乘方直接求得63233333），提高学习数学的兴趣和应用数学知识解决实际问题的能力。教学建议：第一课时：1、本节课的内容相对于老教材而言，它比较“突然”，虽然学生七年级上册已学习了有理数的乘方和整式加减的运算，但间隔有些时间了，对于部分原本学得不够好的同学，就会有一定的麻烦，因此，可以根据学生的实际，把乘方的表示与意义作适当复习，回忆旧知识，为完成下面的学习提供必要的知识准备。2、同底数幂的乘法是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），是幂的性质中最基本的一个，学好了同底数幂的乘法，其他两个性质和整式乘法的学习便容易了。同底数幂乘法的熟练与正确，直接影响到整式乘法运算的速度和正确率，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。因此在教学时，要注意导出同底数幂的乘法法则的过程，点明它的意义和学习的必要性，要给出一般的推导过程，不能只是要求学生记住结论。（学生虽然在以前经历过得出代数规律的过程，但基本上采用的是归纳的方法，他们对推导的意义和必要性会感到困惑。）3、在公式（法则）得出后，应重视引导学生掌握公式的特点和规律，可以从底数和指数两方面加以概括，提高学生在应用中正确率，帮助学生在后几节课公式的应用中体会公式，另外也要求理解m、n是正整数的条件。4、本节课的教学中虽然有3877的问题，但对于如45tt这类的问题还不作要求。还要提醒学生不要疏忽指数为1的情况。5、引例中出现的“光年”的名词，在本章中还有多处出现。第二课时：1、幂的乘方的学习是以幂的意义和同底数幂的乘法为基础，因此要学生经历从具体计算抽象出幂的乘方的过程，体会幂的乘方的运算基础。2、在运算性质导出后，应要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的。而且同样需要让学生熟悉公式的特征，注意与同底数幂的乘法进行比较，体现出指数上的不同。3、在“探究活动”中要给学生充分独立思考与交流的时间，让学生探索不同的方法，经历大魔方体