第五节幂级数的应用

返回第五节幂级数的应用一、函数值的近似计算二、求积分的近似值三、其它应用第五节幂级数的应用一、函数值的近似值计算用幂级数可以表示函数,因此幂级数给函数的运算带来了方便，也使得幂级数有着广泛的应用，运用幂级数可以计算函数值的近似值、求极限、求定积分等.利用函数的泰勒级数展开式可以计算函数的近似值，并对计算的精确度给出可靠的估计.例计算e的近似值，精确到小数四位.解因为指数函数的展开式为xe).,(!1!31!211e32xxnxxxnx令x=1，得.!1!31!2111en!1!312111en！欲精确到小数四位，只需取余项.4101nr取)2)(1(1111!1)!1(1!1nnnnnnrn只需取n=8，则有，于是48101r.3718.2!71!31!2111e,)!1)(1(1111!12nnnnn例计算的近似值，精确到小数四位.10dsinxxx解利用幂级数展开式),(!71!51!31sin753xxxxxx得,!71!51!311sin642xxxxx两端积分1064210d!7!5!31sinxxxxdxxx二、求积分的近似值上式右端为交错级数，由于，可取其前三项即可精确到小数四位，即4101!771.1946.0!551!3311sin10xxdxxx10sin!771!551!3311三、利用幂级数的展开式可以求极限.coslim4202xexxx例求极限解由幂级数展开得!4!21cos42xxx4!21214222xxex将其代入所求极限有121)12(1limcoslim4404202xxxexxxx四、利用幂级数的展开式可以证明公式例证明欧拉公式.sinicosexxix证在指数函数的展开式).|(|!1!31!211e32zznzzznz取z=ix得.)i(!1)i(!31)i(!21i1e32inxxnxxxxxsinicos5342!51!31i!41!211xxxxx