第五节平面及其方程

第五节平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。教学重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角教学难点：平面的几种表示及其应用教学内容：一、平面的点法式方程1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2．平面的点法式方程已知平面上的一点),,(0000zyxM和它的一个法线向量},,{CBAn，对平面上的任一点),,(zyxM，有向量MM0n，即00MMn代入坐标式，有：0)()()(000zzCyyBxxA（1）此即平面的点法式方程。例1：求过三点1M（2，－1，4）、2M（－1，3，－2）和3M（0，2，3）的平面方程。解：先找出这平面的法向量n，kjikjin9141326433121MMMM由点法式方程得平面方程为0)4()1(9)2(14zyx即：015914zyx二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：0DCzByAx几个平面图形特点：1）D＝0：通过原点的平面。2）A＝0：法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。3）A＝B＝0：方程为0DCZ，法线向量},0,0{C，方程表示一个平行于xoy面的平面。同理：0DAX和0DBY分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765zyx都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{n例2：设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程。解：设平面为0DCzByAx，由平面过原点知0D由平面过点)2,3,6(知0236CBA，{4,1,2}n024CBACBA32所求平面方程为0322zyx三、两平面的夹角：定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。设平面0:11111DzCyBxA，0:22222DzCyBxA},,{1111CBAn，},,{2222CBAn按照两向量夹角余弦公式有：222222212121212121||cosCBACBACCBBAA几个常用的结论设平面1和平面2的法向量依次为},,{1111CBAn和},,{2222CBAn1)两平面垂直：0212121CCBBAA（法向量垂直）2)两平面平行：212121CCBBAA（法向量平行）3)平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点),,(0000zyxP，平面的方程为0DCzByAx，则点到平面的距离为222000CBADCzByAxd例3：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解：(1)60131)1(2)1(|311201|cos22222，两平面相交，夹角601arccos；(2)}1,1,2{1n，}2,2,4{2n212142，两平面平行．21)0,1,1()0,1,1(MM，所以两平面平行但不重合。（3）212142两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM所以两平面重合．小结与思考：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。两平面的夹角以及点到平面的距离公式。作业：见作业本7.5