第五讲：导数及其应用

Page1of11©XuezhiEducationAllRightsReserved课件填写说明：根据“【教师版本】教学计划”中的安排准备历次课件，完成既定的教学任务；每次课以两节课计，亦即共计90分钟，课间休息10分钟。科目数学年级高三任课老师老师日期7月20日课次主讲内容/要点第5,6课次第五讲：导数及其应用上课内容详细第五讲：导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2.熟记八个基本导数公式(c,mx(m为有理数)，xxaexxaxxlog,ln,,,cos,sin的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y＝)(xf的导数)(xf，就是当Δx0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比xy的，即)(xf＝＝．基础过关知识网络考纲导读Page2of11©XuezhiEducationAllRightsReserved2．导函数：函数y＝)(xf在区间(a,b)内的导数都存在，就说)(xf在区间(a,b)内，其导数也是(a,b)内的函数，叫做)(xf的，记作)(xf或xy，函数)(xf的导函数)(xf在0xx时的函数值，就是)(xf在0x处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝)(xf在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM处的.4．求导数的方法(1)八个基本求导公式)(C＝；)(nx＝；(n∈Q))(sinx＝，)(cosx＝)(xe＝，)(xa＝)(lnx＝，)(logxa＝(2)导数的四则运算)(vu＝])([xCf＝)(uv＝，)(vu＝)0(v(3)复合函数的导数设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导，且)(xf＝，即xuxuyy.例1．求函数y=12x在x0到x0+Δx之间的平均变化率.变式训练1.求y=x在x=x0处的导数.典型例题Page3of11©XuezhiEducationAllRightsReserved例2.求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy变式训练2：求y=tanx的导数.例3.已知曲线y=.34313x（1）求曲线在x=2（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.Page4of11©XuezhiEducationAllRightsReserved例4.设函数bxaxxf1)((a,b∈Z)，曲线)(xfy在点))2(,2(f处的切线方程为y=3.（1）求)(xf的解析式；（2）证明：曲线)(xfy上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.导数的概念及性质1．函数的单调性⑴函数y＝)(xf在某个区间内可导，若)(xf＞0，则)(xf为；若)(xf＜0，则)(xf为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：小结归纳基础过关Page5of11©XuezhiEducationAllRightsReserved①确定函数)(xf的；②求)(xf，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间；④确定)(xf在各小开区间内的，根据)(xf的符号判定函数)(xf在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有（或），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值．称0x为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数)(xf；②求方程)(xf＝0的；③检验)(xf在方程)(xf＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝)(xf在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值：⑴设y＝)(xf是定义在区间[a,b]上的函数，y＝)(xf在(a,b)内有导数，则函数y＝)(xf在[a,b]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：①求y＝)(xf在(a,b)内的值；②将y＝)(xf的各值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝)(xf在[a,b]上单调递增，则)(af为函数的，)(bf为函数的；若函数y＝)(xf在[a,b]上单调递减，则)(af为函数的，)(bf为函数的.例1.已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.典型例题Page6of11©XuezhiEducationAllRightsReserved变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.变式训练2.函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.Page7of11©XuezhiEducationAllRightsReserved例3.已知函数f(x)=x2e-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值.变式训练3.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.例4.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.Page8of11©XuezhiEducationAllRightsReserved变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-（2（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？研究可导函数)(xf的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(xf的导函数)('xf，再找出)('xf＝0的x取值或)('xf0()('xf0)的x的取值范围．小结归纳Page9of11©XuezhiEducationAllRightsReserved课后作业详细导数及其应用单元检测题一、选择题1.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.49e2B.2e2C.e2D.2e22.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(xf的图象可能是()3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是（A.(0,)34B.(,34+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(34,+4.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则()A.a-1B.a-1C.a-e1D.a-e15.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，那么p、q的值分别为（A.6,9B.9,6C.4,2D.8,66.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为（A.36B.18C.25D.427.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是（①f(x)0的解集是{x|0x2};②f(-2)是极小值，f(2)③f(x)没有最小值，也没有最大值.A.①③B.①②③C.②D.8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A.0＜)2(f＜)3(f＜f(3)-f(2)B.0＜)3(f＜f(3)-f(2)＜)2(fC.0＜f(3)＜)2(f＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜)2(f＜)3(f9.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0a310.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为（A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.11.使函数f(x)=x+2cosx在［0，2］上取最大值的x为（A.0B.6C.3D.2Page10of11©XuezhiEducationAllRightsReserved12.若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（A.0b1B.b1C.b0D.b21二、填空题13.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为.14.如图是y=f(x)①f(x）在［-2，-1②x=-1是f(x)③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4④x=3是f(x)的极小值点.其中判断正确的是.15.函数f(x)的导函数y=)(xf的图象如右图，则函数f(x)的单调递增区间为.16.已知函数f(x)的导函数为)(xf,且满足f(x)=3x2+2x)2(f,则)5(f=.三、解答题17.已知函数f(x)=x3-21x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围.18.设p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q:不等式x2-2x＞a的解集为R.如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围.19.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.Page11of11©XuezhiEducationAllRightsReserved20.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c