第八章刚体的平面运动

第八章刚体的平面运动典型例题例８．1如图８.１（a）所示，半径为r的轮子在固定直线轨道上作纯滚动，已知某瞬时轮心Ｃ的速度是Cv，加速度是Ca，试求该瞬时轮缘上点Ｎ和Ｐ的速度和加速度．［分析］本题为轮子类型的典型题，由点的运动学可知，轮子边缘上任意点Ｍ的轨迹是旋轮线，因此只要写出点Ｍ的运动方程，然后对时间求导数，就可得到它的速度和加速度，现用刚体平面运动的方法求解．解（１）运动分析．取如图８.１（a）所示的固定直角坐标系．由于轮子沿固定直线轨道作纯滚动，可得rMPOP，OPxC故rxC而轮子的角速度和角加速度为rvdtdxrdtdCC1（顺时针），radtdvrdtdCC1（顺时针）（２）速度分析和计算．选轮心Ｃ为基点，由基点法知，点Ｎ的速度NCCNvvv（１）式中各参数为速度NvCvNCv大小未知Cvr方向未知水平向右ＮＣ，向上根据图８.１（b）所示的速度矢量图，可得点Ｎ的速度大小为CNCCNvvvv222它与径向ＮＣ的夹角为45)arctan(CNCvv本例用速度瞬心法求解更为方便．由于轮子沿固定直线轨道做纯滚动，故接触点Ｐ就是速度瞬心，0Pv．轮子的角速度为rvPCvCC/（顺时针）所以，点Ｎ的速度大小为CCNvrrvNPv2/2其方向垂直于ＮＰ，Nv与径向ＮＣ的夹角为45．（３）加速度分析和计算．选轮心Ｃ为基点，由基点法知，点Ｎ的加速度nNCtNCCNaaaa（２）式中各参数为加速度NaCatNCanNCa大小未知CaaNC2NC方向未知水平向右ＮＣ，向上沿ＮＣ根据图８.１（c）的加速度矢量图，可得点Ｎ的加速度大小为22222)()()(CCCtNCnNCCNarvaaaaa显然，Na与径向间的夹角为rvaaaaaCCCnNCCtNC2arctanarctan仍取轮心Ｃ为基点，点Ｐ的加速度nPCtPCCPaaaa（３）式中各参数为加速度PaCatPCanPCa大小未知CaaPC2PC方向未知水平向右ＰＣ，向左沿ＰＣ根据图８.１（c）所示的加速度矢量图，可得点Ｐ的加速度大小为rvaaaaaCnPCnPCtPCCP222)()(（４）方向为铅直向上．讨论轮子滚动而不滑动，这是本例的主要特征．这时，不论固定轨道是直线还是曲线，滚而不滑的接触点都是速度瞬心，角速度的求法都一样，即rvdtdxrdtdCC1．角加速度可以用角速度对时间求一阶导数来确定，即radtdvrdtdCC1．当然，由于地面接触点Ｐ是速度瞬心，也可直接写出rvC，但不能直接写出raC，因为点Ｐ不是加速度瞬心，式（４）已求得rvaCP2，虽然对于本例，由角速度对时间求一阶导数也得到raC．本例也验证了另一个普遍性质，即速度瞬心Ｐ的加速度Pa一般不等于零．例８．２曲柄ＯＡ以匀角速度srad/2绕轴Ｏ转动，并借助连杆ＡＢ驱动半径为r的轮子在半径为R的圆弧槽中作无滑动的滚动．已知mrRABOA12，在图８.２（a）所示瞬时，曲柄ＯＡ处于铅垂位置，且ABOA．试求该瞬时轮缘上点Ｃ的速度和加速度．［分析］本例是包括轮子和秆子两种结构类型的综合题，轮子和杆ＡＢ均作平面运动．为了求轮缘上点Ｃ的速度和加速度，不能直接取速度和加速度都是已知的点Ａ为基点，因为点Ａ和Ｃ不在同一个平面运动的刚体上．但是，可通过连杆与轮子的铰接点Ｂ来建立点Ａ与点Ｃ间的运动学关系．解（１）运动与速度分析．由于轮子沿固定圆弧槽作纯滚动，轮子的速度瞬心在点Ｐ．因为点Ａ和点Ｂ的速度Av和Bv在图示瞬时都沿ＢＡ方向，故连杆ＡＢ作瞬时平移，如图８.２（b）所示，连杆ＡＢ的端点Ａ和Ｂ在图示瞬时的速度相等，即有smRvvAB/2且杆ＡＢ的角速度0AB由于轮子的角速度sradrvBPvBBB/2（逆时针）故轮缘上点Ｃ的速度大小smrrPCvBBC/828.2222方向垂直于ＰＣ，并与B的转向一致．（２）加速度的分析和计算．为了求轮缘上点Ｃ的加速度，必须先求得轮子的角加速度B．为此，可通过对杆ＡＢ与轮的铰接点Ｂ来建立加速度关系，分别取杆上的点Ａ和轮上的点Ｂ为基点．点Ｂ是沿以点1O为圆心，以)(rR为半径的圆弧运动．首先，取杆ＡＢ上的点Ａ为基点，点Ｂ的加速度nBAtBAABtBnBaaaaaa（１）式中各参数为加速度BnaBtaAatBAanBAa大小)/(2rRvB未知2RABAB（未知）02ABAB方向沿1BO沿ＢＡ沿ＡＯＡＢ向上根据图８.２（c），将式（１）向ＡＢ方向投影，得0Bta，B＝０故有2222/82)(smRrRRrRvaaBBnB（铅直向上）然后，取点Ｂ为基点，点Ｃ的加速度nCBtCBBCaaaa（２）式中各参数为加速度CaBatCBanCBa大小未知22R0Br2Br方向未知铅直向上沿ＣＢ由图８.２（c）中的加速度矢量图，有222222222222/31.1122)2()2()()2()(smRRRrRaaaBnCBBC加速度Ca与水平方向的夹角454/讨论图示瞬时杆ＡＢ和轮子的角速度AB和B，是在曲柄连杆处于特殊的位置求得的瞬时值，因此，杆ＡＢ和轮子在该瞬时的角加速度不等于其角速度的瞬时值对时间求一阶导数的值．