第八章圆锥曲线方程阶段质量检测

1第八章圆锥曲线方程一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为()A．(a2，0)B．(0，12a)C．(a4，0)D．(0，14a)解析：先把抛物线的方程化为标准方程的形式，由y＝ax2得，x2＝1ay，∴其焦点坐标为(0，14a)．答案：D2．如果双曲线x213－y212＝1上一点P到右焦点的距离等于13，那么点P到右准线的距离是()A.135B．13C．5D.513解析：由双曲线方程得a2＝13，b2＝12，∴c2＝25，∴e＝ca＝513，由双曲线的第二定义知|PF2|d＝e＝513，而|PF2|＝13，∴d＝135.答案：A3．抛物线y2＝2px(p0)的准线经过等轴双曲线x2－y2＝1的左焦点，则p＝()A.22B.2C．22D．42解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线的准线为x＝－2，∴p2＝2，2p＝22.答案：C4．两个正数a、b的等差中项是52，等比中项是6，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e等于()A.52B.53或52C.133D.133或132解析：由题意可得a＋b＝5ab＝6，解之得a＝3b＝2或a＝2b＝3.当a＝3，b＝2时，e＝ca＝a2＋b2a＝133；当a＝2，b＝3时，e＝ca＝a2＋b2a＝132.答案：D5．设椭圆C1的离心率为56，焦点在x轴上且长轴长为12.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x216－y29＝1B.x210－y25＝1C.x29－y216＝1D.x25－y210＝1解析：由已知得，在椭圆C1中，a＝6，c＝5，由此可得在双曲线C2中的a＝4，c＝5，故双曲线C2中的b＝3，故双曲线C2的方程为x216－y29＝1.答案：A6．如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是()A．a1＋c1a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2a2c1D．a1c2a2c1解析：由题意知，a1＝2a2，c12c2，∴a1c2a2c1.∴不正确的为D.答案：D7．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的焦点在抛物线y2＝8x的准线上，离心率为12，则椭圆的方程为()3A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1解析：抛物线的准线方程为x＝－2，故椭圆的左焦点坐标为(－2,0)，显然椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，又因为离心率为12，所以a＝4，故b2＝a2－c2＝12.∴椭圆的方程为x216＋y212＝1.答案：B8．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：∵直线与圆没有公共点，∴4m2＋n22，即m2＋n24.∴P(m，n)在椭圆的内部∴过P点的直线与椭圆必有两个公共点．答案：B9．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－1B．－1C．2D．1±5解析：由y＝kx－2y2＝8x，消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)0，解得k－1.又x1＋x2＝4(k＋2)k2＝4，解之得k＝2或k＝－1(舍)．答案：C10．(2010·宁德摸拟)已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点F恰好是双曲线y2a2－x2b2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.2B．1±2C．1＋2D．无法确定4解析：由题意知p2＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b2a，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，即4c，得2b2a＝4c，得b2＝2ac，得c2－a2＝2ac，得e2－2e－1＝0，解得e＝1±2，因为e1，所以e＝1＋2.答案：C11．(2010·温州摸拟)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于()A．b－aB．a－bC.a＋b2D．a＋b解析：如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.又直线PF与圆相切，∴|FT|＝OF2－OT2＝b，∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a.答案：A12．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x5解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得点B到准线的距离为|BF|，则|BF||BC|＝12，∴l与准线夹角为30°，则直线l的倾斜角为60°.由|AF|＝3，如图作AH⊥HC，EF⊥AH，垂足分别为H、E，则AE＝3－p，则cos60°＝3－p3，故p＝32.∴抛物线方程为y2＝3x.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2009·杭州模拟)直线x＋2y－2＝0经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又ab0，∴焦点在x轴上，∴c＝2，b＝1，a＝22＋12＝5，∴e＝255.答案：25514．(2009·湖南高考)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析：∵∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°.在Rt△OAF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∴e＝ca＝|OF||OA|＝1cos60°＝2.答案：215．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值等于________．解析：由抛物线的方程，可设抛物线上点的坐标为(x，－x2)，根据点到直线的距离公式得d＝|4x＋3(－x2)－8|42＋32＝35(x－23)2＋43，所以当x＝23时，d取得最小值43.答案：4316．已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使||MA＋635||MF的值最小，那么这个最小值是________．解析：由已知，35与双曲线的离心率53互为倒数．因而35|MF|＝|MF|e＝d(d为点M到相应准线的距离)，所以求|MA|＋35|MF|的最小值，即求|MA|＋d的最小值．作右准线l，作MN⊥l于N，AA′⊥l于A′.由x29－y216＝1，可知e＝53，∴|MF||MN|＝53，∴|MA|＋35|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AA′|，因此，当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|最小，M为AA′与双曲线右支的交点，M(325，2)，∴|MA|＋35|MF|的最小值为9－a2c＝9－95＝365.答案：365三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为45，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2＝π3，且△PF1F2的面积为33，求椭圆的方程．解：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1(－c,0)、F2(c,0)．因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cosπ3＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.又因S△PF1F2＝33，所以12|PF1|·|PF2|sinπ3＝33，得|PF1|·|PF2|＝12.所以4c2＝4a2－36，得b2＝9，即b＝3.又e＝ca＝45，故a2＝259b2＝25，所以所求椭圆的方程为x225＋y29＝1.18．(本小题满分12分)已知点(x，y)在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对7应的横坐标不变，得到的点满足方程x2＋y2＝8；定点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，直线l与曲线C交于A，B两个不同点．(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围．解：(1)在曲线C上任取一个动点P(x，y)，则点(x,2y)在圆x2＋y2＝8上．所以有x2＋(2y)2＝8.整理得曲线C的方程为x28＋y22＝1.(2)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又kOM＝12，∴直线l的方程为y＝12x＋m.由y＝12x＋m，x28＋y22＝1.得x2＋2mx＋2m2－4＝0∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)0，解得－2m2且m≠0.∴m的取值范围是－2m0或0m2.19．(本小题满分12分)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC＋12PC)·(PC－12PQ)＝0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE·PF的最大值．解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC＋12PQ)·(PC－12PQ)＝0得：|PC|2－14|PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.(2)PE·PF＝(NE－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)8＝(－NP)2－NF2＝NP2－1，P是椭圆x216＋y212＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203.又N(0,1)，所以NP2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋20，因为y0∈[－23，23]，所以当y0＝－3时，NP2取最大值20，故PE·PF的最大值为19.20．(本小题满分12分)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N，且满足MP＝PN，AP·MN＝0，求直线l的方程．解：(1)设c＝a2－b2，依题意得b＝2，e＝ca＝a2－b2a＝63，即b＝2，6a2＝9a2－9b2，∴a2＝3b2＝12，即椭圆方程为x212＋y24＝1.(2)∵MP＝PN，AP·MN＝0，∴AP⊥MN，且点P是线段MN的中点，由y＝kx－2，x212＋y24＝1消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，即(1＋3k2)x2－12kx＝0，(*)由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k20，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1＋x2＝12k1＋3k2，∴x0＝x1＋x22＝6k1＋3k2.∴y0＝kx0－2＝6k2－2(1＋3k2)1＋3k2＝－21＋3k2，即P6k1＋3k2，－21＋3k2.∵k≠0，∴直线AP的斜率为9k1＝－21＋