第八章应力状态和强度理论

第八章应力状态和强度理论§8−1概述对于轴向拉压和平面弯曲中的正应力，将其与材料在轴向拉伸（压缩）时的许用应力相比较来建立强度条件。同样，对于圆杆扭转和平面弯曲中的切应力，由于杆件危险点处横截面上切应力的最大值，且处于纯剪切应力状态，故可将其与材料在纯剪切下的许用应力相比较来建立强度条件。构件的强度条件为][][maxmaxττσσ或式中，工作应力σmax或τmax由相关的应力公式计算；材料的许用应力［σ］或［τ］，应用直接试验的方法（如拉伸试验或扭转试验），测得材料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是，在一般情况下，受力构件内的一点处既有正应力，又有切应力，这时，一方面要研究通过该点各不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点处的应力状态。另一方面，由于该点处的应力状态较为复杂，而应力的组合形式又有无限多的可能性，因此，就不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是，就需探求材料破坏（断裂或屈服）的规律。如果能确定引起材料破坏的决定因素，那就可以通过较轴向拉伸的试验结果，来确定各种应力状态下破坏因素的极限值，从而建立相应的强度条件，既强度理论。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体——单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。如果单元体一对截面上没有应力，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内，则称之为平面应力状态（图8−1b）；所有面上均有应力者，称为空间应力状态（图8−1a）。根据弹性力学的研究，任何应力状态，总可找到三对互相垂直的面，在这些面上切应图8−1xyσxτxτyσxσyσyτxτy(b)xyσxτxzτyxσzzτyz(a)σyτxyτzyτzx力等于零，而只有正应力(图8−2a)。这样的面称为应力主平面(简称主平面)，主平面上的正应力称为主应力。一般以σ1、σ2、σ3表示(按代数值σ1≥σ2≥σ3)。如果三个主应力都不等于零，称为三向应力状态(图8−2a)；如果只有一个主应力等于零，称为双向应力状态(图8−2b)；如果有两个主应力等于零称为单向应力状态(图8−2c)。单向应力状态也称为简单应力状态，其它的称为复杂应力状态。本章主要研究平面应力状态，并讨论关于材料破坏规律的强度理论。从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的基础。§8−2平面应力状态的应力分析——解析法一、斜截面应力设ef为一与单元体前后截面垂直的任一斜截面，其外法线n与x轴间的夹角（方位角）为α（图8−2b），简称为α截面，并规定从x轴到外法线n逆时针转向的方位角α为正值。α截面上的正应力和切应力用σα和τα表示。对正应力σα，规定以拉应力为正，压应力为负；对切应力τα，则以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。假想地沿斜截面ef将单元体截分为二，取efd为脱离体，如图8−3c所示。根据00tnFF(b)分别有0cossindsinsindsincosdcoscosddααAτααAσααAτααAσAσyyxxα(c)0sinsindcossindcoscosdsincosddααAτααAσααAτααAσAτyyxxα(d)根据切应力互等定律有xyττ(e)图8−3xyσxτxτyσxσyσyτxτy(a)xnααyσατα(c)tσxτxσyτydefxyαα(b)σyσyτyfeadbcn图8−2σ1σ3σ2(a)(b)σσ(c)σ1σ2将式（b）分别代入式(c)和(d)，经整理后有αατασασσxyxαcossin2sincos22(8-1))sincos(cossin)(22ααταασστxyxα(8-2)利用三角关系ααααααα2sincossin222cos1sin22cos1cos22(f)即可得到2sin2cos22xyxyx(8−3)2cos2sin2xyx(8−4)上列两式就是平面应力状态（图8−3a）下，任意斜截面上应力σα和τα的计算公式。例题8−1图a为一平面应力状态单元体，试求与x轴成30○角的斜截面上的应力。解：由图可知MPa30MPa,20,MPa30xyxτσσ则由公式(13−3)及(13−4)可直接得到该斜截面上的应力MPa33.19)302cos(30)302sin(22030MPa52.1)302sin(30)302cos(22030220303030τσ二、主应力和主平面将式(8—3)对α取导数2cos2sin22ddxxy（a）令此导数等于零，可求得σα达到极值时的α值，以α0表示此值02cos2sin200xxy(b)203030单位：MPaxy(a)xn30°°301020yσ30°τ30°(c)30°30°30°例题8−1图即yxxσστα22tan0(8−5)由此式可求出α0的相差90°的两个根，也就是说有相互垂直的两个面，其中一个面上作用的正应力是极大值，以σmax表示，另一个面上的是极小值，以σmin表示。利用三角关系：02000202tan12tan2sin2tan112cosααααα(c)将式(13−5)代人上两式，再回代到式(13−3)经整理后即可得到求σmax和σmin的公式如下：22minmax22xyxyx(8−6)式中根号前取“+”号时得σmax，取“－”号时得σmin。若把式(13−6)的σmax和σmin相加可有下面的关系：yxσσσσminmax(8−9)即：对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应力不变量，并可用此关系来校核计算结果。用完全相似的方法，可以讨论切应力τα的极值和它们所在的平面。将式(8−4)对α取导数，得ατασσατxyα2sin22cos)(ddx(a)令导数等于零，此时τα取得极值，其所在的平面的方位角用ατ表示，则02sin22cos)(xτxτyατασσ(b)xyxττσσα22tan(8−10)由式(8−10)解出sin2ατ和cos2ατ。代入式(8−4)求得切应力的最大和最小值是22minmax2xyx(8−11)与式(13−6)比较，可得2minmaxminmaxσσττ(8−12)再比较式(8−5)和(8−10)两式，则有ταα2tan12tan0(8−13)这表明2α0与2ατ相差90º，即切应力极值所在平面与主平面的夹角为45°以上所述分析平面应力状态的方法称为解析法。单位：MPa20303035.8°σ1σ3例题8−2图例题8−2图示为某构件某一点的应力状态，试确定该点的主应力的大小及方位。解：由图可知MPa30MPa,20,MPa30xyxτσσ将其代入式(13−6)MPa45MPa45530220302203022minmax..σσ则主应力为MPa450MPa455321.σ,σ,.σ由式（8−5）得2.548.3543.10871.6215320-30(-30)-22tan00ασσταyxx§8−3应力圆一、应力圆由斜截面应力计算公式(8−3)与(8−4)可知，应力σα和τα均为2α的函数。将二式分别改写成如下形式：ατασσσσσxyxyxα2sin2cos22(a)ατασστxyxα2cos2sin20(b)然后，将以上二式各自平方后再相加，于是得22222)0(2xyxαyxατσστσσσ(c)这是一个以正应力σ为横坐标、切应力τ为纵坐标的圆的方程，圆心在横坐标轴上，其坐标为02,σσyx，半径为222xyxτσσ。而圆的任一点的纵、横坐标．则分别代表单元体相应截面上的切应力与正应力，此圆称为应力圆或莫尔(O.Mohr)圆，如图8−4所示。图8−4στO(σx+τy)/2C222xyxτσσ二、应力圆的绘制及应用根据图8−5所示一平面应力状态单元体，作出相应的应力圆，在σ−τ坐标系的平面内，按选定的比例尺，找出与x截面对应的点位于D1(σx,τx)，与y截面对应的点位于D2(σy,τy)，连接D1和D2两点形成直线，由于τx和τy数值相等，即2211BDBD，因此，直线21DD与坐标铀σ的交点C的横坐标为(σy+τy)/2，即C为应力圆的圆心。于是，以C为圆心，1CD或2CD为半径作圆22212xyxτσσCDCD，即得相应的应力圆。应力圆确定后，如欲求α斜截面的应力，则只需将半径CD1沿方位角α的转向旋转2α至CE处，所得E点的纵、横坐标τE与σE即分别代表α截面的切应力τα与正应力σα，令圆心角∠A1CD1=2α0。在利用应力圆分析应力时，应注意应力圆上的点与单元体内的截面的对应关系。如图8−6所示，当单元体内截面A和B的夹角为α时，应力图上相应点a和b所对应的圆心角则为2α，且二角之转向相同。实质上，这种对应关系是应力圆的参数表达式(8−3)和(8−4)以两倍方位角为参变量的必然结果。因此，单元体上两相互垂直截面上的应力,在应力圆上的对应点，必位于同—直径的两端。例如在图8−5中，与x截面上应力对应的点D1，以及与y截面上应力对应的点D2，即位于同一直径的两端。例题8−4试用图解法求解图示应力状态单元体的主应力。图8−5σy(a)τyyσxτxxαnσα(b)σxτOD1(σx,τx)CB1B2A1A2(σx,τy)D2(σx+τy)/2(σx-τy)/22α0σmaxσminσ2αE(σα,,τα)σEFτα解：首先，在选定坐标系的比例尺，由坐标（200,-300）和（-200,300）分别确定C和C′点(图b）。然后，以CC′为直径画圆，即得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应力的应力状态如图。kPa36028kPa360kPa360max131τασσ§8−4三向应力状态的最大应力一、三向应力圆将三个坐标轴方向取在三个互相垂直的主应力方向上，选取如图8−7a所示单元体。首先分析与主应力σ3平行的斜截面abcd上的应力。不难看出(图13−7b)，该截面的应力σα和τα仅与主应力σ1反σ2有关。所以，在σ−τ坐标平面内，与该类斜截面对应的点，必位于由σ1与σ2所确定的应力圆上(图8−8)。同理．与主应力σ2(或σ1)平行的各截面的应力，则可由σ1与σ3(或σ2与σ3)所画应力圆确定。(a)200300200单位：kPa0100kPaOτσCC′D(b)σ128ºσ3x62°(c)例题8−4图图8−7da1bc(a)σ1σ2xzyσ3σ2σ1σ3adbcσ1(b)σ3σ3σ2σατα至于与三个主应力均不平行的任意斜截面ABC（图8−9），由四面体OABC的平衡可得该截面的正应力与切应力分别为γσβσασσn232221coscoscos(8−15)2223222221coscoscosnnσγσβσαστ(8−16)式中，α、β、γ分别代表斜截面ABC的外法线与x、y、z轴的夹角。利用上述关系可以证明．在σ−τ坐标平面内，与上述截面对应的点K(σn,τn)，必位于图13−8所示三圆所构成的阴影区域内。二、最大应力综上所述，在σ−τ坐标平面内，代表任一截面的应力的点，或位于应力圆上，或位于由上述三圆所构成的阴影区域内。自此可见，一点处的最大与最小正应力分