第八章第1课时知能演练轻松闯关

一、选择题1．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选B.根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的三视图不可能是圆和正方形．2．(2011·高考浙江卷)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B.由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.3．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为()A．2B.2C．22D．4解析：选D.设直观图中梯形的上底为x，下底为y，高为h.则原梯形的上底为x，下底为y，高为22h，故原梯形的面积为4.4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：选D.由俯视图可知是B和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错．5．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．这些几何形体是()A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤解析：选D.①显然是正确的，②作不出，③正方体截掉一个角，④上底一条对角线与下底与之垂直的另一条对角线连成的三棱锥，⑤下底的一个直角三角形与上底的一个顶点连成的三棱锥．所以选D.二、填空题6．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由__________块木块堆成．解析：由三视图知，由4块木块堆成．答案：47．正视图为一个三角形的几何体可以是________________(写出三种)．解析：由于正视图为三角形，只需构造一个简单几何体，使得从正面看正好是三角形即可，例如圆锥、三棱锥、三棱柱、正四棱锥或有一侧棱垂直于底面，底面为矩形的四棱锥等，答案不唯一．答案：圆锥、三棱锥、正四棱锥(答案不唯一)8．(2013·开封调研)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确命题的序号是________．解析：根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的．答案：②④三、解答题9．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解：如图所示，正四棱锥S­ABCD中高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，在Rt△SOA中，OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4，∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．在Rt△SOE中，∵OE＝12BC＝2，SO＝3，∴SE＝5，即侧面上的斜高为5.10．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C＝7，则它的正视图投影长为A1B＝6，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋(6)2＝2·(7)2，即a2＋b2＝8，又a＋b2≤a2＋b22，当且仅当“a＝b＝2”时等式成立．∴a＋b≤4.即a＋b的最大值为4.一、选择题1.(2013·福建省莆田市模拟)某几何体的正视图如右图所示，则该几何体的俯视图不可能的是()解析：选C.从组合体看出上面是一个球，下面是一个四棱柱或是一个圆柱且球的直径与四棱柱的底面上的边长差别不大，从上面向下看，一定看到一个圆，再看到或者是看不到一个矩形，如下面是正方形且正方形的边长等于球的直径，则看到B选项；如下面是一个圆柱，且圆柱的底面直径与球的直径相等，看到A选项；如下面是一个矩形，且矩形的边长比球的直径大，看到D；C选项的图形不可能看到，矩形应是虚线且矩形应是横边水平的．2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是()解析：选D.由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据锥体的体积是13知13×S×1＝13，∴S＝1，即底面面积是1，在所给的四个图形中，只有正方形是一个面积为1的图形，故选D.3.我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥．现有一正三棱锥P­ABC放置在平面α上，已知它的底面边长为2，高为h，把BC靠在平面α上转动，若某个时刻它在平面α上的射影是等腰直角三角形，则h的取值范围是()A.0，63B.0，66C.0，66∪63，1D.0，63∪62，1解析：选C.在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE＝13×3＝33，当h＝63时，PE＝PO2＋OE2＝1，PB＝PE2＋BE2＝2，△PBC为等腰直角三角形，即△PBC在平面α内时符合，如图(1)．P不在平面α内时，如图(2)设P在α内的投影为P′，PP′＝d，∵△P′BC为等腰直角三角形，故P′E＝1⇒PE＝d2＋11，又PEh2＋OE2＝h2＋3321，∴h223，∴h63，有选项可知C符合，故选C.图(1)图(2)二、填空题4．(2013·福建省福州市模拟)四棱锥P­ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，根据图中的信息，在四棱锥P­ABCD的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为________．解析：由于底面是正方形，PA垂直底面，所以互相垂直异面直线有：PA与BC；PA与DB；PA与CD；PB与AD；PD与AB；PC与DB共6对．答案：65.已知正三棱柱ABC­A′B′C′的正视图和侧视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大，此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：82π3三、解答题6.已知一四棱锥P­ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P­ABCD的体积；(2)不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；(3)求四棱锥P­ABCD的侧面积．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.∴VP－ABCD＝13S□ABCD·PC＝23.(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.证明：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD.∴BD⊥PC，又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.(3)由(1)知PC⊥CD，PC⊥BC，CD＝CB，∴Rt△PCD≌Rt△PCB.∵AB⊥BC，AB⊥PC，BC∩PC＝C.∴AB⊥平面PCB∵PB⊂平面PBC，∴AB⊥PB.同理AD⊥PD.∴四棱锥P­ABCD的侧面积S＝2S△PCD＋S△PAD＋S△PAB＝2×12CD·PC＋12AB·PB＋12AD·PD＝2＋5.7．(2013·福建省四地六校高三第三次联考)一个多面体的直观图和三视图如下：(其中M，N分别是AF，BC中点)(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A­CDEF的体积．解：(1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∴∠CBF＝90°.取BF中点G，连MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可得：NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE­BCF为直三棱柱∴AH⊥平面DCEF，且AH＝2，∴VA­CDEF＝13SCDEF·AH＝13×2×22×2＝83.