第八章第三节课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a－2或a23B．－23a0C．－2a0D．－2a23解析：由a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0知－3a2－4a＋40即3a2＋4a－40∴－2a23.答案：D2．(2011·深圳调研)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：曲线C的方程可化为：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使得圆C的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到横、纵坐标轴的最短距离为|2a|，|－a|，则有|2a|2，|－a|2，故a2.答案：D3．(2011·青岛二中期末)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋y－732＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x－322＋(y－1)2＝1解析：依题意设圆心C(a,1)(a0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得|4a－3|5＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：B4．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A．(－∞，14]B．(0，14)C．(－14，0)D．(－∞，14)解析：由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤(a＋b2)2＝14.答案：A5．圆心在抛物线y2＝2x(y0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()A．x2＋y2－x－2y－14＝0B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0D．x2＋y2－x－2y＋14＝0解析：抛物线y2＝2x(y0)的准线为x＝－12，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋12(y0)上，与y2＝2x(y0)联立可得圆心的坐标为(12，1)，半径为1，则方程为(x－12)2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋14＝0.答案：D6．(2010·西安模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．406解析：将圆的方程化成标准形式得(x－3)2＋(y－4)2＝25，所以圆心为P(3,4)，半径r＝5.而|MP|＝3－32＋4－52＝15，所以点M(3,5)在圆内，故当过点M的弦经过圆心时最长，此时|AC|＝2r＝10，当弦BD与MP垂直时，弦BD的长度最小，此时|BD|＝2r2－|MP|2＝252－12＝46.又因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|×|BD|＝12×10×46＝206.答案：B二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案：y2＋4x－4y＋8＝08．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝3，则该圆的标准方程是__________．解析：根据|AB|＝3，可得圆心到x轴的距离为12，故圆心坐标为(1，12)，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－12)2＝1.答案：(x－1)2＋(y－12)2＝19．若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．解析：方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝1－3k24∵r2＝1－3k24≤1，∴k＝0时r最大．此时圆心为(0，－1)．答案：(0，－1)三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知直线l1：4x＋y＝0，直线l2：x＋y－1＝0以及l2上一点P(3，－2)．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．解：设圆心为C(a，b)，半径为r，依题意，得b＝－4a.又PC⊥l2，直线l2的斜率k2＝－1，∴过P，C两点的直线的斜率kPC＝－2－－4a3－a＝1，解得a＝1，b＝－4，r＝|PC|＝22.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.11.如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连结BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式：x＝－1＋1＋2x0－13，y＝2y03，则x0＝3x＋12，y0＝3y2y0≠0，代入x2＋y2＝1，整理得所求轨迹方程为(x＋13)2＋y2＝49(y≠0)．12．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．根据题意，得1－a2＋－1－b2＝r2－1－a2＋1－b2＝r2，a＋b－2＝0解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝25.