第八讲比和比例的应用-提高篇

1比和比例的应用课前复习【比与比例】比的性质：比的前项和后项都乘或除以,比值不变。比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。比例的性质用于解比例。【最简整数比】结果必须是一个最简比，即前、后项是的数。【比例尺】比例尺=————，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。【正比例和反比例】（1）正比例，用字母表示K(一定)=（2）反比例，用字母表示k(一定)=【正反比例关系的判断】先判断两个量是不是相关联的量，再判断两种量中相对应的两个数积一定还是商一定。如果积一定，这两种量就成关系；如果商一定，这两种量就成关系。小升初总复习比与比例的应用教学目标：1、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化2、单位“1”变化的比例问题3、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容。而且经常合在一起进行考察，所以必须要对比与比例、百分数透彻理解。百分比的难点回顾1、小明有50元钱，小红比小明少10元钱。小青有80元钱，比小丁少20元钱。（１）小明的钱与小青的钱之比是_________________。（２）小明的钱与小红的钱之比是_________________。（３）小青的钱与小丁的钱之比是_________________。（４）小青比小明多_________________（百分之几）。（５）小红比小明少_________________（百分之几）。2（6）小明比小红多_________________（百分之几）。2、(判断题)一筐苹果比一筐梨重20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻20％？一、比和比例的性质性质1：若a:b=c：d，则(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性质2：若a:b=c：d，则(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性质3：若a:b=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①xaybybxa；xyab；abxy；②xaybmxamyb；xmaymb(其中0m)；③xaybxaxyab；xyabxa；xyabxyab④xayb，yczdxaczbd；::::xyzacbcbd；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：1、题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。2、若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。3、应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。4、题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。四、比例应用题的主要类型【按比例分配】将x个物体按照:ab的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为3:aab和:bab，所以甲分配到axab个，乙分配到bxab个。【已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题】两个类别A、B，元素的数量比为:ab(这里ab)，数量差为x，那么A的元素数量为axab，B的元素数量为bxab，所以解题的关键是求出ab与a或b的比值。【例1】一班和二班人数比是8：7，如果将一班的8名同学调到二班，则一班和二班的人数比是4：5，求原来二班的人数。【解析】不变量是两个班的总人数，于是可以将总人数看作单位“1”。一班原来人数是两个班总人数的158，调走8人后是总人数的94，即可知道8名学生占总人数的158-94。解：比例差：158-94＝454总人数：8÷454＝90（人）二班人数：90×157＝42（人）验算：一班有90－42＝48人，调8人至二班，则一班40人，二班50人，一班：二班＝40：50＝4：5，与题目条件相符，正确。答：原来二班的人数有42人。练习：六（1）班大扫除，扫地的人数与擦窗的人数比是8：7，后来扫地的人中有4人去帮老师搬桌子，这时扫地的人数与擦窗的比是1：1，问原来各多少人？【例2】有纯酒精30克，要配置酒精与水的比为5：12的酒精溶液，能配置成多少千克酒精溶液？需要加多少克？（用比例）【解析】先找出条件中的不变量。再根据比例的性质特征进行计算。练习：一个三角形三条边的长度比是3∶5∶4，这个三角形的周长是36厘米。三条边的长度分别是多少厘米？【例3】三个小队共植树210棵，第一小队植了总数的52，第二小队与第三小队植树的比为2：5，这三个小队各植树多少棵？（2011年真题）【解析】本题同时考察了分数、比例。只要找出比例的单位“1”是什么，进而求出单位“1”的植树数量，即可解本题。4【例4】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【解析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800人，四、五、六三个年级的人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数．解：假设四年级和六年级人数同样多，则总人数：72080800人，四、五、六三个年级的人数比为3:2:3，六年级：3800300323人；五年级：2800200323人；四年级：30080220人答：略。【例5】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？【解析】甲的一半、乙的2倍、丙的23这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为121:12:123即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为214:12:332即83:2:32，化简为16:12:9.解：【例6】加工一个零件，甲、乙、丙所需时间比为6：7：8。现在有3650个零件要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，各应加工多少个？解：（1）甲、乙、丙3人的工作效率比为：61：71：81=28：24：21：（2）甲、乙、丙3人各应加工的零件数：3650×21242828=1400（个）3650×21242824=1200（个）3650×21242821=1050（个）答：【图形与比例结合】把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（n1）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:1（或1:n²）。5【例7】下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。解：量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5:2.5=3:1，宽的比是3:1。小长方形的面积大长方形的面积=15.235.7=5.25.7×13=9:1=3²:1答：大长方形与小长方形面积的比是9:1。【例8】一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形。这个长方形的面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?【解析】要保证面积不变，一边减少20%，即是原来的45，另一边要变成原来的54，即增加51144，所以原正方形的边长为1284(米)解：★★★★课外拓展：应用题易错题例析【例1】某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4∶5∶6。现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个？错解由甲、乙、丙三人单独做所需工作时间的比是4∶5∶6，推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6∶5∶4，用按比例分配的思路解。评析：上述解答错在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6∶5∶4。诚然，如果甲、乙二人工作时间的比是4∶5，那么，甲、乙二人工作效率的比就是5∶4，这是正确的。但是，把甲、乙、丙三人工作时间的连比是4∶5∶6转化成甲、乙、丙三人工作效率的连比是6∶5∶4，那就大错了！不错，工作效率的比等于工作时间比的反比。从已知条件看，甲、乙二人工作时间的比是4∶5，所以，甲、乙二人工作效率的比是5∶4；乙、丙二人工作时间的比是5∶6，所以，乙、丙二人工作效率的比是6∶5。这里的“5∶4”表示甲5份，乙4份，“6∶5”表示乙6份，丙5分，两6个比都是两重相比，其中同样表示“乙”有几份的数在前后两个比中并不相同，我们怎么能将这两个比直接变成甲、乙、丙三人工作效率的连比呢？显然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的连比看成是6∶5∶4，是错误的。正确的解答应当是：甲、乙、丙三人工作效率的比10:12:1561:51:41容易看出，因为5∶4=15∶12，6∶5=12∶10，所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5∶4，乙、丙二人工作效率的比是6∶5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15∶12∶10。【例2】有两瓶同样重的盐水，甲瓶盐水盐与水重量的比是1∶8，乙瓶盐水盐与水重量的比是1：5。现将两瓶盐水并在一起，问在混合后的盐水中盐与水重量的比是多少？错解认为在甲瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“5”，于是，将两瓶盐水并在一起，便得到盐的重量是（1＋1＝）2，水的重量是（8＋5＝）13。（1+1）∶（8＋5）=2∶13答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是2∶13。评析上述解答的主要错误是把两种物质重量的最简比，看成了就是两种物质具体重量的比。甲瓶盐水盐与水重量的比是1∶8，不等于说在这瓶盐水中盐的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情况也是一样。从已知条件可以看出，在甲瓶盐水中，盐有1份，水有8份，盐和水一共有（1＋8＝）9（份），在乙瓶盐水中，盐有1份，水有5份，盐和水一共有（1＋5＝）6（份）。因为两瓶盐水是“同样重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可见两瓶盐水中每“1份”的重量有多少是不相同的。上述解答简单地将两瓶盐水中每份重量不同的盐和水的份数分别相加，然后再将两个“和”组成一个比，便造成了解答的错误。正确的解答是：1∶8=2∶16，2＋16=18；1∶5=3：15，3＋15＝10。（2＋3）∶（16＋15）＝5：31答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是5∶31。课后总结【比和比例的性质】性质1：若a:b=c：d，则(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性质2：若a:b=c：d，则(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性质3：若a:b=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．7【主要比例转化实例】①xaybybxa；xyab；abxy；②xaybmxamyb；xmaymb(其中0m)；③xaybxaxyab；xyabxa；xyabxyab④xayb，yczdxaczbd；::::xyzacbcbd；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．【比例题目常用解题方式和思路】解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不