北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形典型例题

北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形典型例题1.例1.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F。求证：①四边形AEDF是菱形②当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？2.例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，且BE∥DF。求证：BE＝DF。教师在这里将这道题进行开放处理：例2’如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，点E、F在AC上，_________,求证：BE＝DF或BE∥DF。3.例3.如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点。求证：四边形EGFH是平行四边形。BFCDEADCBAEFOGHFDAEBC4.例4.如图，已知：△ABC，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别为BC、EF中点，求证：MN⊥EF。拓展例4’，变化条件和结论如图，已知：△ABC中，M、N分别为BC、EF中点，MN⊥EF，CF⊥AB，求证：BE⊥AC5.例5.如图在△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F、分别是BC、CA、AB边的中点。求证：AD＝EFEFDCBAEFBCMAN6.：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，你能证明吗？引伸：⑴在这个图形中除△BCD≌△BED外，还有其它的全等三角形，你能找出并证明吗？⑵当AB=6;BC=8时，你能求出重叠部分的面积吗？⑶在⑵的条件下对这个图形你还可以作何尝试？7.在△ABC中，∠ACB=90°，E时AB中点，以A、C、E为定点作平行四边形。⑴当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并证明你的结论。⑵四边形ACEF有可能是正方形？为什么？EABCDAFDBCCEAFB8.以△ABC的三边为边，在BC的同侧做等边三角形△ABD、△BCE、△ACF⑴判定四边形ADEF的形状并加以证明⑵当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？⑶当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？⑷当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？⑸当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF不存在？9.△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，连接AE、DF。1）AE、DF有什么关系？2）△ABC满足什么条件时，AE⊥DF？3）△ABC满足什么条件时，AE=DF？4)△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？FCADBEFADEB1、如图，矩形纸片ABCD，把纸片折叠使A、C二点重合，得到折痕EF，连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状并加以证明。2、先用木条制成活动的四边形，再用彩色的橡皮筋顺次连成中点四边形。1）无论四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状怎样？2）若四边形的对角线互相垂直，中点四边形的形状是什么？3）若四边形的对角线相等，中点四边形的形状是什么？4）若四边形的对角线互相垂直且相等，中点四边形的形状是什么？5）当活动的四边形二条便在同一直线上时，四边形ABCD变成△ABD，那么中点四边形的形状怎样？BCDAEGHFEAHDGCFBBCAEFD3、已知直角梯形ABCD中AD∥BC,∠B=90°,AB=8,AD=24,BC=26,点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB边以3的速度向点B运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t。1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？4、例1中求出点EC间的距离CAPDQB