第29讲聚点定理2009

《数学分析I》第29讲教案1第29讲聚点定理与有限覆盖定理授课题目聚点定理与有限覆盖定理教学内容1.聚点概念，2.聚点定理，3.有限覆盖定理．教学目的和要求通过本次课的教学，使一般的学生能够了解聚点概念、聚点定理与有限覆盖定理；使较好的学生能够理解聚点概念及其等价定义、能够掌握聚点定理及其简单应用.教学重点及难点教学重点：重点是聚点定理；教学难点：聚点定理与有限覆盖定理.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是聚点概念和聚点定理．通过实例讲清聚点概念的内涵和实质，使较好学生能够理解聚点概念等价定义；不可强行要求一步到位，对多数学生只能要求他们了解聚点概念；(2)聚点定理的证明过程是区间套定理应用的一个典范，应采用边讲边练的授课方式，使较好学生得到一次很好的数学素养熏陶；(3)有限覆盖定理是教学难点，只要求学生了解定理的内容.作业布置作业内容：教材168P:5，6.讲授内容一、聚点定理与有限覆盖定理定义2设S为数轴上的点集，为定点(它可以属于S，也可以不属S)．的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点．例如，点集nSn1)1(有两个聚点11和12；点集nS1只有一个聚点0；又若S为开区间ba,，则ba,内每一点以及端点a、b都是S的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点．聚点概念的另两个等价定义如下：定义2’对于点集S，若点的任何邻域内都含有S中异于的点，即SU);(0，则称为S的一个聚点．定义2”若存在各项互异的收敛数列Sxn，则其极限nnxlim称为S的一个聚点关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下．定义2定义2’是显然的，定义2”定义2也不难得到；现证定义2’定义2”设为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0，存在SUx;．令11，则存在SUx11;；令12,21minx，则存在SUx22;，且显然12xx；《数学分析I》第29讲教案2令1,1minnnxn，则存在SUxnn;，且11,,nnxxx与互异。无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列nx，且由nxnn1，易见nnxlim。下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．定理7．2(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点．证因S为有界点集，故存在0M，使得MMS,，记MMba,,11现将11,ba等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点，记此子区间为22,ba，则2211,,baba且Mabab112221再将22,ba等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为33,ba，则3322,,baba，且2212233Mabab将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列nnba,，它满足11,,nnnnbaba,,,2,1n021nnnMabn即nnba,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点nnba,，,,2,1n．于是由定理7．1的推论，对任给的0，存在0N，当Mn时有;,Ubann．从而;U内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点．推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列．证设nx为有界数列．若nx中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若nx不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集nx至少有一个聚点，记为。则存在nx的一个收敛子列(以为其极限).作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性.证设数列na满足柯西条件．先证明na是有界的．为此，取,1则存在正整数N，当m=N+1及nN时有《数学分析I》第29讲教案3.11Nnaa由此得na=111NnNNnaaaaa111NNaa.令M=max,1,,,,121NNaaaa则对一切正整数n均有.Man于是，由致密性定理，有界数列na必有收敛子列,kna设knkalim=A．对任给的0，存在K0，当m,n,kK时，同时有2mnaa(由柯西条件)，).lim(2knnAaAakk由因而当取m=nk(Kk)时，得到.22AaaaAakknnnn这就证明了Aannlim.定义3设S为数轴上的点集，H为开区间的集合(即H的每一个元素都是形如(,)的开区间)．若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S．若H中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖)．在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定．例如，若函数f在（a,b）内连续，则给定0，对每一点x(a,b)，都可确定正数x(它依赖于与x)，使得当xU(x;x)时有)()(xfxf〈．这样就得到一个开区间集H=,),(),(baxxxxx它是区间(a,b)的一个无限开覆盖．定理7．3(海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理)设H为闭区间ba,的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖ba,证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖ba,．将ba,等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为11,ba，则baba,,11，且abab2111．再将11,ba等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖．记这《数学分析I》第29讲教案4个子区间为22,ba，则1122,,baba，且abab22221．重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列nnba,，它满足11,,nnnnbaba，,,2,1nnababnnn021即nnba,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖由区间套定理，存在唯一的一点nnba,，,2,1n．由于H是ba,，的一个开覆盖，故存在开区间,，使,．由定理７．１推论，当n充分大时有,,nnba这表明nnba,只须用H中的一个开区间,就能覆盖，与挑选nnba,时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖ba,．注定理结论对开区间则不一定成立．例如，开区间集合,2,11,11nn构成了开区间1,0的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住1,0．