第2讲万有引力定律应用

1第2讲万有引力定律应用第一部分知识点一天体质量和密度的计算1．天体表面的重力和重力加速度在质量为M、半径为R的天体表面上，若忽略天体自转影响，质量为m的物体的重力加速度g可以认为是由万有引力产生的，则2MmmgGR，得：2MgGR（R为天体半径，M为天体质量）。由此可得不同星球表面重力加速度的关系为：21212212gRMgRM2．求某高度处的重力加速度设离星球表面高度为h处的重力加速度为hg，则2()hMmmgGRh，则2()hMgGRh，重力加速度随高度的增加而减小。星球表面的重力加速度和某高度处的重力加速度之间的关系为：22()hgRgRh3．天体质量的计算（1）建立天体的运动模型我们通常以某一行星为研究对象，把该行星看成质点，它绕中心天体做匀速圆周运动，建立的是匀速圆周运动模型．（2）已知行星的公转半径r，公转周期T，设行星的质量为m，中心天体质量为M．那么由万有引力定律得：222()FmrmrT向根据圆周运动规律，FF万向，即222()MmGmrrT，所以2324rMGT．即如果知道绕中心天体（如太阳）运行的行星（如地球）的运行半径和运行周期，就可以求中心天体的质量．（3）已知天体：半径R和天体表面的重力加速度g，根据2MmmgGR得2gRMG．（4）已知行星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v和轨道半径r，根据22GMmvmrr，得：2rvMG．2（5）已知行星绕中心天体运行的线速度v和周期T，根据22GMmmvrT和22GMmmvrr得：32vTMG．4．天体密度的测定（1）天体质量测出后，如果能求出天体的体积，那么天体的密度可以测定，即3332324343MrrRVGTRGT式中r为行星的公转轨道半径，R为中心天体的半径，T为行星的公转周期．若行星为中心天体的近地卫星，则rR，中心天体的密度23GT．（2）天体半径与天体表面的重力加速度已知时，根据2gRMG，求出天体质量2gRMG，则天体密度233443MgRgVGRGR．5．“星体自转不解体”模型指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴（某点）做匀速圆周运动，其特点为：①具有与星球自转相同的角速度和周期；②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动（二者轨道半径虽然相同，但周期不同），也不同于同步卫星的运转（二者周期虽相同，但轨道半径不同）．这三种情况又极易混淆，同学们应弄清．典型例题：例1若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为（）A．23GTB．23GTC．24GTD．24GT例2若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的（）A．0.5倍B．2倍C．4倍D．8倍例31798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离为L2．你估算出（）3A．地球的质量GgRm2地B．太阳的质量223224GTLm太C．月球的质量213124GTLm月D．可求月球、地球及太阳的密度例4中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星，观测到它的自转周期为1s30T．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体．（引力常数11226.6710Nm/kgG）针对性练习：1．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量11226.6710Nm/kgG，由此估算该行星的平均密度约为（）A．331.810kg/mB．335.610kg/mC．431.110kg/mD．432.910kg/m2．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则（）A．':5:1ggB．':5:2ggC．:1:20MM星地D．:1:80MM星地3．为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（）A．运转周期和轨道半径B．质量和运转周期C．线速度和运转周期D．环绕速度和质量4．由于行星的自转，放在某行星“赤道”表面的物体都处于完全失重状态。如果这颗行星在质量、半径、自转周期、公转周期等参数中只有一个参数跟地球不同，而下列情况中符合条件的是（）A．该行星的半径大于地球B．该行星的质量大于地球C．该行星的自转周期大于地球D．该行星的公转周期大于地球5．行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明；2T是一个常量，即对任何行星都相同．4知识点二人造卫星和宇宙速度1．人造卫星的动力学特征人造卫星绕地球运行而不逃离地球，地球对其的万有引力是唯一束缚力．故此，任何卫星在正常运行时，其轨道平面必须经过地球质心（可粗略地认为质心与地心重合）．否则，卫星便会在地球引力作用下，逐渐偏离既定的轨道而坠落．如图所示三种轨道中，b、c轨道经过地心，可以存在，而a轨道不存在．2．人造卫星的运动学特征（1m为地球质量，r为卫星轨道半径）人造卫星绕地球做圆周运动时，由万有引力提供环绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律：（1）由21222mmvGmrr得1Gmvr，∴r越大，v越小．（2）由21222mmGmrr得1Gmr，∴r越大，越小．（3）由122224mmGmrrT得2314rTGm，∴r越大，T越大．取6400kmrR代入有min84minT．这是地球卫星的最小周期，任何实际卫星的周期均大于该值．3．三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度17.9km/sv，此值为人造卫星在地面附近做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫第一宇宙速度．同时它也是发射卫星的最小速度，小于这个速度，不可能发射卫星．求第一宇宙速度有两种方法：①由22MmvGmRR，得GMvR；②由2vmgmR，得vgR其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M为该星球的质量，R为该星球的半径，g为该星球表面的重力加速度．依据已知条件，灵活选用计算公式．（2）第二宇宙速度（脱离速度）卫星或飞船要想脱离地球的引力束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，称为第二宇宙速度，其大小为11.2km/s．（3）第三宇宙速度（逃逸速度）5地面上的物体发射出去，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，称为第三宇宙速度，其大小为16.7km/s．4．人造卫星的有关问题（1）注意区别人造卫星的发射速度和运行速度人造卫星的发射速度与运行速度之间的大小关系是：11.2km/s7.9km/svv发射运行≥．（2）注意区别天体半径R和卫星轨道半径r卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径，所以rRh。当卫星贴近天体表面运动时，0h，可以近似认为轨道半径等于天体半径。（3）注意区别自转周期和公转周期（4）注意区别近地卫星与同步卫星（通信卫星）①近地卫星其轨道半径r近似等于地球半径R，其运动速度7.9/GMvgRkmsR，是所有卫星的最大绕行速度；运行周期85minT，是所有卫星的最小周期；向心加速度29.8/agms，是所有卫星的最大加速度。②地球同步卫星是指，位于赤道上方，相对于地面静止的、运行周期与地球的自转周期(24h)T相等的卫星，这种卫星主要用于全球通信和转播电视信号．又叫做同步通信卫星．同步卫星其特点可概括为“六个一定”．位置一定（必须位于地球赤道的上空）周期一定(24h)T高度一定4(3.610km)h速率一定3.1km/sv（）向心加速度一定2(0.228m/s)na运行方向一定（自西向东运行）5．卫星的超重与失重卫星在进入轨道的加速上升过程及返回前的减速下降阶段，由于具有向上的加速度而超重；卫星在进入轨道后的正常运转过程中，做匀速圆周运动，由万有引力完全充当向心力，产生指向地心的向心加速度，卫星上的物体对支持面和悬绳无弹力作用，处于完全失重状态．平常由压力产生的物理现象都会消失，水银压强计失效、天平失效，但弹簧秤不失效，只是测不出重力了．典型例题：例1可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地面是运动的6D．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地面是静止的例2关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（）A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C．它是指使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度例3欧洲天文学家发现了可能适合人类居住的行星“格里斯581c”．该行星的质量是地球的m倍，直径是地球的n倍．设在该行星表面及地球表面发射人造卫星的最小发射速度分别为v1、v2，则12vv的比值为（）A．3mnB．mnC．3mnD．mn例4已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为，地面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球同步卫星的运行速度为v，则第一宇宙速度的值可表示为（）A．RgB．2/vRC．/RGMD．GMg例5宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落回月球表面（设月球半径为R），根据上述信息判断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为__________。针对性练习：1．随着世界航空事业的发展，深太空探测已逐渐成为各国关注的热点．假设深太空中有一颗外星球，质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12．则下述判断正确的有（）A．在地面上所受重力为G的物体，在该外星球表面上所受重力变为2GB．该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍C．该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期D．该外星球上从某高处自由落地时间是地面上同一高处自由落地时间的一半2．已知万有引力常量G，地球的半径R，地球表面重力加速度g和地球自转周期T．不考虑地球自转对重力的影响，利用以上条件不可能求出的物理量是（）A．地球的质量和密度B．地球同步卫星的高度C．第一宇宙速度D．第三宇宙速度3．当人造地球卫星进入轨道做匀速圆周运动后，下列叙述中不正确的是（）A．在任何轨道上运动时，地球地心都在卫星的轨道平面内B．卫星运动速度一定不超过7.9km/sC．卫星内的物体仍受重力作用，并可用弹簧秤直接测出所受重力的大小D．人造地球同步卫星的运行轨道一定在赤道的正上方74．同步卫星是指相对于地面不动的人造卫星（）A．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值B．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的C．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同的值D．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的5．地球半径为R，地面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球同步卫星离地面的高度为h，则地球同步卫星的线速度大小为（）A．2RgRhB．()RhgC．2()RhTD．无法计算6．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．（1）推导第一宇宙速度1v的表达式；（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道