第2讲消费者最优

中级微观经济学第2讲消费者最优：预算约束下最大化效用——选择“能买到的、最好的商品组合”——需求曲线x1x2x1*x2*P72：第五章附录：消费者最优化：在价格p1，p2和收入M已知的情况下消费多少x1，x2，使得效用U(x1,x2)最大。MaxU＝U(x1,x2)S.t.P1x1+P2x2=M构造拉格朗日函数：L=U(x1,x2)–ζ(P1x1+P2x2–M)对拉格朗日函数求偏导数：L’x1=ðU/ðx1–ζP1=0……………（1）L’x2=ðU/ðx2–ζP2=0……………（2）L’ζ=M–P1x1–P2x2=0……………（3）这三个方程可以把三个未知数x1，x2和ζ解出来：x1=x1*（p1，p2，M），x2=x2*（p1，p2，M）；由（1）式得到：ζ＝ðU/ðx1/P1=MU1/P1由（2）式得到：ζ＝ðU/ðx2/P2=MU2/P2即MU1/P1=MU2/P2＝ζ或MU1/MU2=P1/P2也就是说，满足相切条件下的消费组合（x1*，x2*）使效用U(x1,x2)最大。x1=x1*（p1，p2，M）和x2=x2*（p1，p2，M）分别是商品x1，商品x2的需求函数第2讲的内容提要：效用最大就选择“买得到的商品组合中的最佳组合”1.买得到的商品组合—预算约束（2）2.要找到最佳，就必须能够排序—偏好、效用（3、4）3.在预算集中选择最偏好的消费束—选择（5）最优选择模型ch5买得到的组合：稀缺排序：偏好无差异曲线ch3效用函数Ch4边际替代率边际效用预算集预算线预算约束Ch2相切条件：选择Ch5Ch2预算约束：买得到的商品组合2.1预算线与预算集预算约束—消费者受到的经济环境的约束—稀缺性与可选择性。消费束：X=（x1，x2）预算约束：p1x1+p2x2=m（p16）复合商品，计价物x2：p1x1+x2=m（p17）预算集：能够负担的消费束的集合预算线：费用正好等于m的消费束的集合p1x1+p2x2=mx2=m/p2–(p1/p2)x1（p17）预算线的斜率(dx2/dx1)=–(p1/p2)是商品1的机会成本，p1/p2即是为了多得到1单位商品1，消费者必须放弃商品2的数量，也叫经济交换率。（p19）预算线的变动：价格与收入同比例变动不会改变预算集名义收入的变动相对价格的变动预算约束取决与当期收入m，事实上可能有财富禀赋，或者可以借贷。可以处理为两个问题，首先是考察在财富约束下的收入的跨期安排问题，确定未来和现在的最优支出花费量；之后考察给定现期支出后选择最优商品消费组合的问题。2.2税收、补贴与配给从量税相当于提高了物品的价格（p+t）从价税相当于提高了物品的价格（1+t）p总额税相当于降低了收入m–T总额补贴：收入m+S；实物x+x1（p24，图2.6-B）从量补贴相当于降低了物品的价格（p–s）从价补贴相当于降低了物品的价格（1–s）p从价补贴：增加153元食品消费须放弃25元其他商品消费（p24，图2.6-A）限制政策配给供应x=x1（p22，图2.4）超额税提高了超额数量的价格（p+t）（p23，图2.5Ch3偏好：排序3.1偏好及其性质：单调、凸性商品的概念。能够带来效用，有胜于无，Goods而不是Bads；经济物品（economicgoods）——稀缺自由物品（freegoods）——不稀缺关键是理解什么是“不同的”的商品（时间、空间、自然状态、质量、宣传……）商品的离散与连续。偏好的概念。——排序；P27消费者要在“负担得起的物品中找到最佳”，前提是能够比较不同商品组合的优劣，按照满足程度的高低，对消费集的商品进行排序。这种排序就是消费者偏好。偏好的表示：严格偏好，弱偏好，无差异，三者的关系。偏好是消费者的主观事物，是不可直接观测的。假定偏好是稳定不变的。为了保证偏好是理性的、是一致的，有三个公理性的假设：完备性……能够比较，知道好坏。完备性是说偏好关系在消费集上任何地方都有定义。反身性……相同的东西一样好。传递性……两两比较可以区分细微的差别，没有“差不多”。（寓言“老头子总是对的”）这三个假设是理性的全部内容，说一个人非理性，就是说他至少违背了上述三个假设中的一个。理性是一个基本假设，只有理性的人才能做出最佳选择。这样的人的行为才是可以被模型化（约束条件下最优化），并是可以预测的。单说人是理性的，无助于解释现象。虽然不同环境下的人都是理性的，但是其约束条件不同，选择范围和机会成本也不同，行为千差万别。“经济学就是以理性为基础、通过考察约束条件来解释现象的。不从理性出发来解释社会现象的理论就不是经济学理论，反过来，从理性出发来观察和解释现象则都是经济学的理论，哪怕是这些现象与金钱和物质利益无关”。或者说，经济学不解释非理性行为。理性假设受到许多的质疑。跳楼、吸毒、雷锋……是理性的吗？面对这些质疑，理性可以理解为是竞争的结果：非理性的行为会在竞争中淘汰。理性人假设的合理性在于能够成功推断个体的竞争性行为。理性不包含偏好进步的含义：不能说读莎士比亚比读金庸更理性。3.2无差异曲线无差异曲线对消费束排序，是表示偏好的技术工具；每个人对消费可行集的消费组合都有一个稳定的排序（偏好），不同的无差异曲线形状表示不同的偏好（排序）。画出“性状良好、互补、替代、厌恶品、中性品、餍足、离散、凹偏好、非严格凸偏好、带状”的无差异曲线。P31-37解的情况：唯一解，角点解，边界解，多解，无穷解。P58-65偏好的特征（无差异曲线的假定）：连续性：消费集是闭集，排除了有孔的消费集和间断的无差异曲线；单调性：排除了斜率为正的无差异曲线；严格单调则斜率为负，越高的无差异曲线效用越高，限定了经济物品，多多益善，排除了负商品。凸性：其经济含义是平均消费比端点消费更受喜欢，x1~x2，tx1+（1-t）x2偏好于x1或x2；其数学含义是上优集是凸集；其几何含义是无差异曲线凸向原点，不能凹向原点；凸性假设允许直线段的无差异曲线；严格凸性则排除了线段部分，是“圆形”的。P36-37之所以对偏好进行这些假设，是为了数学上能够最优化。主要是确保效用函数的存在，和最大化效用有内点解，排除了无解、角点解和边界解。3.3边际替代率无差异曲线上的商品组合带给消费者相同的满足程度，因而告诉了我们一个消费者愿意进行的替代或者交换。MRS12=-dx2/dx1，反映了消费者对商品1的主观评价价值，是用相对价格商品2的数量表示的边际支付意愿。如果把第二种商品处理成货币收入，它就是商品1的最高边际支付价格，即保留价格。凸向原点的的无差异曲线可以理解为边际支付意愿递减（边际替代率递减）。Ch4效用4.1效用函数效用不可以计量，但是可以排序，可以用效用表示偏好（排序）。效用函数就是通过为消费集内每个消费束指派一个数字来对消费束进行排序的方法：x1偏好于x2当且仅当u（x1）大于等于u（x2），也就是说，如果一个人偏好x1强于x2，那么为x1指派的数字u（x1）必须大于为x2指派的数字u（x2），效用函数u：X—R就是为消费束指派数字的（排序）方法。……一个例子。P43效用（函数）数字的唯一目的在于对消费束排序，只要能够排序，就能做出最优的选择。因而对于选择来说，我们只需要知道偏好（更喜欢）哪一个消费束，并不需要知道效用具体有多大，任意两个消费束之间的数字差额是无关紧要的，没有任何经济含义。基数效用即便存在，也是一个不必要的（多余的）且未能证实的假设，它既不充分也不必要。指派数字的方法有很多，但是如果不同的方法对所有消费束给出了相同的排序，则这些不同的方法（函数）表示相同的偏好。也就是可以用不同的效用函数表示相同的偏好，因而效用函数是不唯一的。效用函数的任何单调变换形成的函数依然表示相同的偏好。……例子，p43效用函数的存在性（是否能够合理排序）。当偏好是理性的（完备、反身、传递），连续的，单调的，那么效用函数就是存在的。P45-46画对角线—根据无差异曲线构造效用函数。4.2边际效用与边际替代率边际效用与边际替代率U=U(x1，x2)dU=(ðU/ðx1)dx1+(ðU/ðx2)dx2=0MRS12=-dx2/dx1=(ðU/ðx1)/(ðU/ðx2)=MU1/MU2边际替代率是消费者对商品的（边际）主观价值，为什么不能直接用边际效用呢？主要原因就是效用函数不唯一，边际效用函数也不唯一，效用函数单调变换会改变边际效用，从而无法在不同人之间利用边际效用的取值进行比较。边际效用是有单位的，取决于效用单位的选择，但是边际替代率是交换比率，与效用单位无关。边际替代率是唯一的，单调变换不改变边际替代率。即使效用函数不同，但如果边际替代率相同，则两个效用函数表示相同的偏好。（p53）边际效用递减的含义是ð(ðU/ðx1)/ðx10，边际替代率递减的含义是ð((ðU/ðx1)/(ðU/ðx2))/ðx10，边际效用递减并非是边际替代率递减的充分条件4.3不同偏好的效用函数写出性状良好、替代、互补、拟线性、道格拉斯偏好的效用函数。偏好—效用函数—无差异曲线—边际替代率性状良好…U(x1，x2)=x1x2…x2=k/x1…完全替代…U(x1，x2)=ax1+bx2…x2=…完全互补…U(x1，x2)=min（ax1，bx2）…x2=…拟线性…U(x1，x2)=v（x1）+x2…x2=…道格拉斯…U(x1，x2)=x1ax2b…x2=…齐次函数与位似函数（偏好）Ch5选择5.1消费者最优（均衡）MaxU(x1，x2)S．t．p1x1+p2x2=m在预算线上意味着把钱花完，根据局部非饱和假设（或者单调性假设），效用最大化的消费束一定满足预算约束等式，这也叫瓦尔拉斯定律。相切条件：由无差异曲线MRS12=-dx2/dx1=MU1/MU2由预算线–dx2/dx1=(p1/p2)；即MRS12=MU1/MU2=(p1/p2)相切条件是在预算线上选择最优消费束：边际替代率=经济交换率，边际替代率是对商品1的主观价值，经济交换率是商品1的机会成本。如果前者大于后者，增加持有该商品1，反之反是，相等时不再改变消费组合，达到最优，确定了最优的消费组合。MU1/p1=MU2/p2＝ζ这也称为资源配置的等边际原则，收入支出的边际效用处处相等。M=p1x1+p2x2dM=p1dx1+p2dx2……（1）U=U(x1，x2)=U(x1（p，M），x2（p，M）)dU/dM=ðU/ðx1*dx1/dM+ðU/ðx2*dx2/dM=ζp1dx1/dM+ζp2dx2/dM=ζ(p1dx1+p2dx2)/dM=ζdM/dM(由（1）式得)=ζdU/dM=ζ表示增加一单位支出带来效用的增量。最优化的解xi（p1，p2，m）为马歇尔需求：在一定价格和名义收入水平下商品的最优选择。完全替代………………边界解完全互补………………角点解中性商品和厌恶品……边界解离散商品………………角点解凹偏好（极端）……边界解非凸偏好………………多切点非严格凸偏好…………多个解科布-道格拉斯………内点解（p75附录）偏好的连续性排除了离散商品；偏好的局部非饱和性排除了预算约束不等式；偏好的单调性排除了中性商品和厌恶品；偏好的凸性排除凹偏好；偏好的严格凸性排除了角点解和多解的情况。连续、单调、严格凸的偏好意味着效用函数存在最大值，是严格凹函数。相切条件只是一阶必要条件，其二阶充分条件就是要证明效用函数是严格拟凹函数，或者说要无差异曲线凸向原点。对偏好给予这么多严格的假设，就是为了保证效用函数是严格拟凹函数，为保证数学上或技术上最优化的内点解的存在和唯一。因此这些假设使得经济学为了数学而脱离现实成为“黑板经济学”。估算效用函数：效用函数是看不见的，但是在某一价格和收入下的需求是可以观测的，根据道格拉斯效用函数参数的经济含义（支出份额p76，p1x1=[c/(c+d)]M，p2x2=[d/(c+d)]M，c/(c+d)与d/(c+d)分别表示购买x1和x2的支出份额）如果我们有很多在不同收入和价格下消费者的需求观测数据，我们可以估算出该参数，进而估算出效用函数。并运用这一效用函数来评估经济环境变化（如价格、收入、