经典不定积分课件

第四章不定积分求原来那个函数的问题.已知某曲线的切线斜率为2x,,0vatv研究微分运算的逆运算已会求已知函数的导数和微分的运算.解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如某质点作直线运动,已知运动速度函数求路程函数.常要求此曲线的方程.1.2.不定积分.indefiniteintegral积分变量积分常数被积函数定义被积表达式不定积分不定积分.定义)(xF设CxF)(的则)(xf全部原函数的一般表达式,)(的任一原函数是xf称为函数f(x)的总和(summa)xxfd)(记为积分号CxFxxf)(d)(dCxF)(1.被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数的微分.xxf)(d2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所有函数.有函数.因此绝不能漏写积分常数C.3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称为积分运算,它是微分运算的逆运算.不定积分的概念与性质基本积分公式Ckxxkd)1((k是常数))1(1d)2(1CxxxCxxx||lnd)3(说明：,0xCxxxlnd])[ln(,0xxxxx1)(1Cxxx)ln(dCxxx||lndxxd11)4(2Cxarctanxxd11)5(2Cxarcsinxxdcos)6(Cxsinxxdsin)7(Cxcosxx2cosd)8(xxdsec2Cxtanxx2sind)9(xxdcsc2Cxcotxxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxlnxxdsh)14(Cxchxxdch)15(Cxsh熟记xxxdcossin122解xxxdcossin122xxdcos12xtan例xxxdcossin22xxdsin12xcotCxx22cossinxxxd2cos1cos1xxxdsin2cos12xxxxd)csccotsin1(212Cxx)csccot(21xxxd1122xxdtan2xxd2sin2不定积分的概念与性质xxxd11222xxd)1(sec2xxd2cos1xxd2cosCx2sin解决方法将积分变量换成令xt2xxd2costtdcos21Ctsin21Cx2sin21x2sinx2cosxxdcosCxsinx2cos2.2x因为xd)d(221x,d21dtxtdt21xt2第一换元积分法定理xxxfd)()]([uufd)(第一类换元公式)(d)]([xxf)(xu（凑微分法）证xxxfd)()]([x)()]([xxfuufd)(xuufd)(uxu)())((xxf)(xu可导,则有换元公式设)(uf具有原函数,注“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择是凑微分的关键.)(xu)()(xuf)(x)(xu例求xxd2sin法一xxd2sind2sinxCx2cos21法二xxd2sinxxxdcossin2)(sindsin2xxCx2sinxu2uudsin21xusinCucos21uud2Cu221)2(x解CxxxcosdsinCxxx1d1法三xxd2sinxxxdcossin2)(cosdcos2xxCx2cosxucosuud2Cu2同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.注换元积分法Cxxx1d1xxd31对第一换元积分法熟练后,可以不再写出中间变量.Cx23313231注31)1(1d1Cxxx换元积分法)31(dxx31例xxxdln解xxxdln)(lndlnxxCx2)(ln2xxxd)ln21(1解xxxd)ln21(1)(lndln211xx)ln(dln211xxCx)ln21ln(211221小结常见的凑微分类型有xbaxfd)(xxbaxfmmd)(1)(d)()1(111baxbaxfmamm)0()(d)(1abaxbaxfa2d)1(xxxf)1d()1(xxfxxxfd1)(ln)lnd()(lnxxfxeefxxd)()d()(xxeefxxxfd)()d()(2xxfxxxfdsec)(tan2xxxfdcsc)(cot2xxxfd11)(arcsin2xxxfd11)(arctan2小结xxxfdcos)(sinxxxfdsin)(cosxxfdsin)(sinxxfdcos)(cosxxftand)(tanxxfcotd)(cotxxfarctand)(arctanCxf)(lnxxfarcsind)(arcsinxxfxfd)()()()(dxfxf例)0(d122axxa解221xa原式=xxaxxaad1d121Cxaxaalnln21Cxaxaaln21xaxaa1121)0(ln21d122aCaxaxaxax例求xxxd25812解xxxd25812xxd9)4(12Cx34arctan31xxad122Caxaarctan122)4(3)4(dxxxxd)4(3122换元积分法例求xexd11解xexd11xexd11xeexxd11xeexxxd1dxdCexx)1ln(xexe)1(d11xxee法一换元积分法例求解xxdcos11xxdcos11xxxxdcos1cos1cos1xxxdcos1cos12xxxdsincos12xxdsin12Cxxsin1cot)(sindsin12xx换元积分法例xxdtan解原式=xxxdcossinxxcoscosdCxcoslnCxxxsinlndcot某些三角函数换元积分法第二换元积分法xxd11有根式解决方法消去根式,,xt令xdxxd11ttt1d2tttd1112tttd11d2Ctt)1ln(22Cxx)1ln(22)0(2ttx困难即则ttd2tttd2回代axa22ax例求)0(d22axxa解令taxsinttaxdcosd2,2txxad22ttadcos22taa222sinttad22cos12Ctta)2sin21(22tax22xa辅助三角形axarcsinttadcosaxaarcsin22Cttta)cossin(22Cxax222回代例求解)0(d122axax令taxtanttaxdsecd2xaxd122tasec1ttdsec1|tansec|lnCtttax22ax2,2taCaxxln||ln122Caxx||ln22ttadsec2回代ln1Caax22ax辅助三角形ttdsecCtt|tansec|ln94d2xx223)2(dxx解Cxx942ln212Caxxdxax)ln(1222294d2xx223)2()2(d21xx换元积分法有理函数的定义两个多项式的商表示的函数称之.)()(xQxP;都是非负整数、其中nm,,,,,1010都是实数及mnbbbaaa.0,000ba且一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn真分式;,)2(mn假分式.nnnaxaxa110mmmbxbxb110例1123xxx112xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和例求xxxxd1123解由多项式除法,有1123xxx1dd2xxxx原式Cxxarctan22说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.112xx假分式有理函数的积分xxxd)1(12xA)1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2x并将值代入BA,1C11)1(112xxx2)1(1xx例求2)1(1xx解(1)(1)2)1(xB1xC赋值于是xxxd)1(12xxxxxxd11d)1(1d12Cxxx1ln11||lnxxxxd11)1(112xxxd)1(1211)1(112xxx2)1(1xx221dxxx解法一txtan三角代换法二倒代换,1tx221dxxx.d1d2ttx222111d1tttt21dtttCt21Cx211例求.d1)1(xxxxx解先将无理函数的分子或分母有理化.分析xxxxxxxxxd)1)(1()1()1(原式xxxd)1(xxxd1xxd23xxd21xxxd1)(112552x2332x25)1(52xCx23)1(32