第3章习题解a

第三章机械能守恒3-1有一列火车，总质量为M，最后一节车厢质量为m．若m从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s的路程之后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。解：每节车厢所受的阻力为mgf，牵引力gMmMfF/;mmM)(节车厢的前进力为ffmmMFfF'.[方法一]：在以匀速v0前进的参照系看，落后一节车厢停止时落后的距离为22221tmfats，mmM节车厢多走的距离为smMmtmMfFtas22'21'21';此时最后一节车厢与列车后端相距)/('mMMssss.[方法二]：以地面为参考系，则20122tmfvss，20221tmMftvs；且00tmfv.由此解得2121tmfss，msft22；最后得smMMmsmMmMftmmMsss2)(21)11(21212.3-2一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R，球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h多大时开始脱离球面。解：质点脱离球面时，要求球面对它的正压力N=0.由能量守衡2/2mvmgh，向心力公式Rmvmg/cos2,及角度关系RhR/)(cos;最后解得3/Rh3-3如本题图，一重物从高度为h处沿光滑轨道滑下后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h至少要多少？解：由能量守恒和向心力公式mgRmvmg22/2,mgNmgRmv/2;最后解得2/5Rh,即高度h至少要为5R/2.3-4一物体由粗糙斜面底部以初速v0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度减为v1，求此物体达到的最大高度。解：设滑动摩擦力为fr,则由功能原理mghmvsfr2/20,sfmvmghr21;可解得gvvh4/)(2120.3-5如本题图，物体A和B用绳连接，A置于摩擦系数为的水平桌面上，B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略，绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB，求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度，解：由滑动摩擦力gmfAr,及功能原理hfvmmghmrBBAB2)(;可解得21])(2[BAABBmmghmmv.3-6用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，角取什么值时大圆环刚能升起。解：大圆环上升时,细线的拉力T=0.此时小环对大环而施一向上压力N,且mgNcos2.又小环受一向下压力N,其运动方程为RMvMgN/cos2;再加上能量守恒公式2/)cos1(2MvMgR;可解得min1)2313131(cosMM3-7如本题图，在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2的两个物体，开始时处于静止。若把m1、m2之间的连线烧断，求m1的最大速度解：设弹簧原长为y0,m1+m2处于静止时长为y2,m1静止时长为y1,剪断m2后，m1经过其平衡位置时，速度最大，记为vmax.由弹性力公式知gmmyyk)()(2102，gmyyk101)(；与机械能量守恒公式)(21)(21)(211212max1201202yygmvmyykyyk一起，解得11112112max,mkgmmkmgmmv.3-8劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后，在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：(1)A、B离开时，B以多大速率运动；(2)A距起始点移动的最大距离。解：（1）设B离开时的速率为vB,则由机械能量守恒公式220)(2121BBAvmmkx,可解得0xmmkvBAB（2）若A距平衡位置的最大距离为x0m,则由机械能量守恒公式2022121mBAkxvm,可解得00xmmmxBAAm;故A距起始点移动的最大距离为000max)1(xmmmxxxBAAmA.3-9如本题图，用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接，放在光滑的水平面上。mA紧靠墙，在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0，当外力撤去后，求：(1)弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值；(2)质心速度的最大值。解：(1)外力撤去的瞬间，mB受到向右的弹性力0kxf,mA受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N；由于此时A静止，故kxNf.这样，系统(mA+mB+弹簧)受到的外力仅为NF外，故有：)/(/0maxBAcmmkxmFa外.当mA离开墙体后，,0外F0ca.（2）当弹簧恢复到原长时，mA静止,mB的动能最大：2022121kxvmBB,即0/xmkvBB.此后系统在没有外力的作用下运动，质心速度不变,质心最大速度vcmax服从关系式：2max0)(vmvmvmmBBBcBA,即：0maxxmkmmmvBBABc.此时22max20max21)(2121BBABAcBApkpvmmmmvmmkxEEE其中221BBABAcMkvmmmmE为A,B相对于质心系的动能.3-10如本题图，质量为m1和m2的物体以劲度系数为k的弹簧相连，竖直地放在地面上，m1在上，m2在下。(1)至少先用多大的力F向下压m1，突然松开时m2才能离地？(2)在力F撤除后，由m1、m2和弹簧组成的系统质心加速度ac何时最大？何时为0？m2刚要离地面时ac=？解：（1）已知未加力时弹簧被压的长度为kgml/11，加力F后弹簧被压的长度为kgmFlF/)(1；若弹簧伸长l2时，m2方能离地（此时对地的压力为N=0），则kgml/22.加上机械能守恒公式)(212121222llgmklklFF，可导出gmmF)(22.（2）力F撤除后，（m1+m2+弹簧）系统所的总受外力为gmmNF)(21外（以向上为正）,即gmxlkN20)(,l0为弹簧原长.a)当F刚撤除时，max21210)()(,cFammgmmFlll外,gacmax,(方向向上).b)当时，10lxl0)(21外Fammc;即0cac)当20lxl，即弹簧伸长l2时，N=0；cammgmmF)()2121（外;即gac,这便是m2刚要离地时的质心力加速度，方向向下。3-11如本题图，质量为M的三角形木块静止地放在光滑的水平面上，木块的斜面与地面之间的夹角为．一质量为m的物体从高h处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m、M和地面为参考系，计算在下滑的过程中M对m的支撑力N及其反作用力N’所作的功，并证明二者之和与参考系的选择无关，总是为0．解：从p.105的2-17题可算出：2'sincosmMmMgNN,2sincossinmMmgaMx,22sinsin)(mMgMmamy,221xahmy,sin)(cos212MmmhtasmxM.①以m为参考系，m不动，其位移0s，故0cosNsAN;,02cos'相sNAN0NNAA.②以M为参考系，M不动，其位移0s，故0cossNAN;,02cos相NsAN0NNAA.③以地面为参考系，M的位移为Ms，m的位移为Mmsss相,)sin)((cos)2cos(222mMmMMhgmsNAMNNMMmNAsNNsssNsNA2cos)(相相)sin)((cos222mMmMMghm,故0NNAA.④设有两参考系k、k，M和m的位移分别为)(MMss、)(mmss，k相对k的位移为s,sssMM,sssmm;在k系,MNsNA，MNsNA;故0)(''相sNssNsNsNAAMmMmNN;在k’系,sNAssNANMN)(,sNAssNsNANmmN)(;由此可证明,0)(sNNAAAANNNN3-12—根不可伸长的绳子跨过一定滑轮，两端各拴质量为m和M的物体(Mm)。M静止在地面上，绳子起初松弛。当m自由下落一个距离h后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M上升的最大高度H。解：m下降距离h时，按机械能守恒公式有初速度ghv20.经t（很短）时间后m,M具有相同的速度v;由动量定理，对m有：)()(0mvmvtmgT;对M有：MvtMgT)(.绳子被拉紧的t时间内，MgTmgT,，故可忽略Mgmg及;即0mvmVMV.由此可得两物体的速度ghmMmV2.设m再下降H，M上升H后，m,M的终端速度为0，按机械能守恒定律有MgHmgHmvMV222121,最后得hmMmH222.又整个过程的能量损耗为ghmMmMmghghmMmmMmghvmM2)()(21)(21222.3-13如本题图，质量为m的物体放在光滑的水平面上，m的两边分别与劲度系数为k1和k2的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：(a)若以拉力非常缓慢地拉了—段距离l，它作功多少？(b)若拉到距离l后突然不动，拉力作功又如何？解：(a)∵拉力F拉得缓慢，1122xkxkf，21,xx从0增大，故f是变力，不是恒力.即lxxxkxk2121,.按功能原理222211212121xkxkEEApp弹弹,最后得2212121lkkkkA(b)施力的方式比较复杂，现考虑两个极限情形：第一，如上述（a）的情形：A被分配到两弹簧上，此时A最小。第二，A只分配到2k上，这相当于拉力22xkf，为急速地拉动，此时1k及m都来不及变化和运动，故22max21lkA.一般地，有：22221212121lkAlkkkk3-14质量为M的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m的子弹以速率v0水平入射到木块内，并与木块一起运动。已知M=980g,m=20g,v0=800m/s.求(1)木块对子弹作用力的功；(2)子弹对木块作用力的功；(3)耗散掉的机械能。解：设子弹和木块的末速为V,按动量守恒定律,有VmMmv)(0,即smvmMmV/1680010209801020330（1）)80016(10202121212232020mvmVEEAkk子弹子弹子弹木块J44.6397.（2）JMVEEAkk44.125161098021212320木块木块木块子弹.（3）耗散掉的机械能20221)(21mvVmMEJ627244.639744.125.