第3章电路的过渡过程

65第十八讲：第3章电路的过渡过程及换路定律本书此前所讨论的电路，不论是直流还是交流，电路的联接方式和参数值是不变的，电源的输出是恒定的或周期性变化的，电路中的各部分电压也是恒定的或周期性变化的。电路的这种状态称之为稳定状态，简称稳态。当电路接通、断开或电路各元件的参数变化时，电路中的电压、电流等都在发生改变，从原来的稳定状态变化到另一个新的稳定状态，这个过程称过渡过程。它不能瞬间完成，需要一定的时间（尽管往往是极短暂的），又称暂态过程。电路在过渡过程中的工作状态称暂态。3.1过渡过程的产生与换路定律3.1.1．电路中产生过渡过程的原因电路中之所以出现过渡过程，是因为电路中有电感、电容这类储能元件的存在。图3-1（a）中，当接通电源的瞬间，电容C两端的电压并不能即刻达到稳定值U，而是有一个从合闸前的uC=0逐渐增大到uC=U（见图3-1（b））的过渡过程。否则，合闸后的电压将有跃变，电容电流iC=Cdu/dt将为无穷大，这是不可能的。图3-1RC串联电路同样，对于电感电路，图3-2(a)中，当电源接通后，电路的电流也不可能立即跃变到U/R，而是从iL=0逐渐增大到iL=U/R（见图3-2(b)）这样一个过渡过程。否则，电感内产生的感生电动势eL=-Ldi/dt将为无穷大，也是不可能的。66图3-2RL串联电路过渡过程产生的实质是由于电感、电容元件是储能元件，能量的变化是逐渐的，不能发生突变，需要一个过程。而电容元件储有的电场能WC=C2/2Cu，电感元件储有的磁场能WL=L2/2Li，所以电容两端电压uC和通过电感的电流iL只能是连续变化的。因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容或电感的电路存在过渡过程。产生过渡过程的内因：电路中存在储能元件,CLui；外因：电路出现换路时，储能元件能量发生变化。3.1.2．换路定律电路工作状态的改变如电路的接通、断开、短路、改路及电路元件参数值发生变化等，称换路。由以上分析可知，换路瞬间，电容两端的电压uC不能跃变，流过电感的电流iL不能跃变，这即为换路定律。用t=0-表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间，则换路定律表示为CCLL(0)(0)(0)0uuii（）(2-86)注意，换路定律只说明电容上电压和电感中的电流不能发生跃变，而流过电容的电流、电感上的电压以及电阻元件的电流和电压均可以发生跃变。换路定律得解释如下：自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以电容C存储的电场能量212WcCu不能突变使得Cu不能突变；同样，电感L储存的磁场能量212LLWLi不能突变使得Li不能突变。从电路关系分析（以图3-1为例）：CCCduEiRuRCudt若cu发生突变，cduidt，这是不可能的。根据换路定律可以确定换路后过渡过程的初始值，其步骤如下：1）分析换路前(t=0-)电路，求出电容电压、电感电流，即uC（0-）、iL（0-）。2）由换路定律确定uC（0+）及iL（0+）。3）进而计算出换路后（t=0+）电路的各参数即过渡过程的初始值。例图3-2（a）中，已知:R=1kΩ,L=1H,E=20V，开关闭合前iL=0A，设t=0时开关67闭合，求(0),(0)LLiu。解：根据换路定律(0)(0)0ALLii换路时电压方程(0)(0)LEiRu所以(0)20020VLu小结：1.换路瞬间，CLui、不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；2.换路瞬间，0(0)0CuU，电容相当于恒压源，其值等于0U；(0)0Cu，电容相当于短路。3.换路瞬间，0(0)0LiI，电感相当于恒流源，其值等于0I；(0)0Li，电感相当于断路。68第十九讲：3.2．一阶RC、RL电路的过渡过程分析根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一个储能元件）。电子电路中广泛应用由电阻R、电容C构成的电路，掌握RC电路过渡过程的规律，对分析这些电子电路很有帮助。3.2.1．RC电路的过渡过程分析1．RC电路的零输入响应零输入是指无电源激励，输入信号为零。在零输入时，由电容的初始状态C(0)u所产生的电路响应，称为零输入响应。分析RC电路的零输入响应实际上就是分析它的放电过程。以图3-3为例，换路前开关K在位置1，电源对电容充电。在t=0时将开关转到位置2，使电容脱离电源，电容器图3-3RC放电电路通过R放电。由于电容电压不能跃变，uC(0+)=uC(0-)=E，此时充电电流iC(0+)=E/R。随着放电过程的进行，电容储存的电荷越来越少，电容两R端的电压uC越来越小，电路电流i=uC/R越来越小。电容两端的电压uC随时间的变化见图3-4。根据基尔霍夫电压定律：0CCduRCudt其通解形式为ptCuAe将其代入上式，得出特征方程10RCp图3-4RC放电曲线从而方程的解为：tRCCuAe根据初始条件(0)(0)CCuuE解得ttRCCuEeEe式中RC称为RC电路的时间常数，表示电容放电的快慢。可以认为t=5时，过渡过程结束。692．RC电路的零状态响应零状态是指换路前电容元件没有储能，(0)0Cu。在此条件下，由电源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。RC电路的零状态响应实际上就是它的充电过程。图3-5为RC充电电路。设开关K合上前，电路处于稳态，电容两端电压uC(0-)=0，电容元件的两极板上无电荷。在t=0时刻合上开关K，电源经电阻R对电容充电，由于电容两端电压不能突变，uC(0+)=0，此时电路中的充电电流iC(0+)=E/R。随着电容积累的电荷逐渐增多，电容两端的电压uC也随之升高。电阻分压uR减少，电路充电电图3-5RC充电电路流iC=uR/R=(E-uC)/R也不断下降，充电速度越来越慢。经过一段时间后，电容两端电压uC=E，电路中电流iC=0，充电的过渡过程结束,电路处于新的稳态。电容两端的电压uC随时间的变化见图3-6。根据基尔霍夫电压定律：CCduRCuEdt其特解即电路的稳态分量为CuE而其通解即电路的暂态分量为ttRCCuEeEe图3-6RC充电曲线解得(1)tCCCuuuEe式中RC称为RC电路的时间常数，表示电容充电的快慢。时间常数=RC越大，充电时间越长。这是因为，C越大，一定电压U之下电容储能越大，电荷越多；而R越大，则充电电流越小，所以需要更长的充电时间。3．RC电路的全响应70图3-7RC电路的全响应图3-8RC电路的全响应曲线RC电路的全响应是指电源激励E、电容元件的初始状态C(0)u均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。图3-7所示电路中，在t=0时刻，开关K由位置1扳向位置2。此过渡过程中，电容初始电压uC(0+)不为0，输入信号也不为0，此时的电路响应，称全响应。在t≥0时，电路方程为：2CCCduERiuRCudt它的解为：12()(1)ttCutEeEe我们可以看出：全响应=零输入响应+零状态响应，这也是叠加定理在电路过渡过程中的体现和运用。RC电路的全响应过程，电容两端的电压uC随时间的变化见图3-8。例已知：开关K原处于闭合状态，t=0时打开。求()Cut解：212(0)6VCRuERR零状态解和零输入解迭加①零状态解(0)0VCu1()10(010)1010VtRCCtu'tee②零输入解71(0)6VCu()6VtCute全解为：()()10106104VCCCtttutu'tueee第二十讲：3.2.1．RL串联电路的过渡过程对于RL串联电路，其过渡过程分析与RC串联电路类似，只不过电感元件中电流不能跃变，一阶电路的分析方法同样适用于RL串联电路。1．RL零状态响应图3-9中，换路前，电感中无电流通过，(0)0Li，没有储能，为零状态;换路后，(0)(0)0lLii，但此时，电流相对时间变化率最大，电感中产生感生电动势最大。随时间的推移，电流越来越大，电感储存的磁场能越来越大，但电流变化越来越慢，电感分压逐渐减小。根据基尔霍夫定律，列出t≥0时的电路方程diRiLEdt与电容电路相似，电路电流的解为图3-9RL零状态响应电路()(1)tEiteR72式中，LR为时间常数。L越大，电感储有磁场能越多，产生阻碍电流变化的感生电动势越来越大，阻碍作用越强；R越小，在同样电压下电感所得电流U/R越大，储能越多，所以过渡过程时间越长.变化越缓慢。2．RL零输入响应图3-10中，换路前，电感中有电流通过，0(0)LiIER;换路后，0(0)(0)lLiiI，此时，电流相对时间变化率最大，电感中产生感生电动势最大。随时间的推移，电流越来越小，电感储存的磁场能越来越少。根据基尔霍夫定律，列出t≥0时的电路方程图3-10RL零输入响应电路0diRiLdt与电容电路相似，电路电流的解为0()titIe3．RL电路的全响应与电容电路相似，电感电路的全响应为零输入响应和零状态响应的叠加：0()(1)ttEiteIeR图3-10RL全响应电路总结：RC电路和RL电路接通直流电路的过程，也就是对阶跃激励的响应。可以先分别求零状态响应和零输入响应，再求全响应。求解方法用解常系数微分方程的经典方法方程的解由稳态分量和暂态分量组成。