第3节-2有效数字及其与误差的关系

§3有效数字及其与误差的关系一、有效数字例如：对无穷小数或着循环小数，可用四舍五入的办法来取其近似值若按四舍五入取四位小数，则可得其近似值3.1416若取五位小数则得到其近似值为3.14159这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位。3.1415926413.14160.002102513.141590.000008102定义：当近似值x*的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。*12*112,,0.1,01,00,9mnnxxnmx一般说，设有一个数其近似值的规格化形式：都是，中的一个数字，，是正整数，是整数。****12110210,,mnmnnxexxxnx若的绝对误差限为：，则称为具有位有效数字，或称它精确到，其中每一个数字都是的有效数字。3.1416五位有效数字，精确到0.0001203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数.0.0203和0.020300:其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001,0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001.可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确.注:有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.**32*0.1524,0.1541()0.00160.000510,210.00510,20.00050.005xxxxxx另一种情况，例如，这时的误差是，其绝对值超过了（即第三位小数的半个单位），但却没有超过（即第二位小数的半个单位），即。*1231,54x显然虽有三位小数，其中都是准确数字，而第三位小数就不再是准确数字了，我们就称它为存疑数字。二、有效数字与误差的关系*1102mnexx由，可知从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误差限也就越小。1、有效数字与绝对误差的关系*12**11*1*111110.101()10102110()12()1010211022mnmnmmnnrmnxnxxxxxxx若有位有效数字时，显然有，又因为，其相对误差有：故相对、有效数字与相对误误差限为：差的关系。上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。*12***1!*0.101()()102(1)mnnrrxxxxxn上述关系的逆也是成立的，即当用表示近似值，如想其相对误差能满足：则至少具有位有效数字。*1*11!**1111*1()10(1)102(1)11()()(1)1010102(1)2nmrmnmnrxxxxxxn证明如下：由及，即表示至少具有位有效数字。13.1416例、当用来表示的近似值时，它的相对误差是多少？1*5143.1416311()1010236rx解：具有五位有效数字，，那么有：21*020.1%xIedxI例、为了使积分的近似值的相对误差不超过，问至少需要几位有效数字。1*1***0.746771()100.1%273,0.7470.1%nrIxnIII解：可以知道，这样，，有：可以解出：即只要取三位有效数字，就能保证的相对误差不超过。三.计算机舍入误差121,,,,0.0,1,,11,2,,0,,,,,,,,ctiFtLUxaaaaiaxFtLUmxMmMFtLU设计算机的数系为某数其中且满足及是中的最小正数和最大正数。1211210.0/20,./2tttttaaaaaaaflxflxcaaa计算机经舍入当当处理后以接收，即其中：0.5ctxexflx计算机对的舍入绝对误差满足：10.50.50.1cttrcxflxex舍入相对误差满足：注意：计算机对任何实数的舍入相对误差与实数本身无关，只与计算机字长t有关，通常定义数eps=0.5×β1-t为计算机精度。由于计算机的精度只与字长有关，计算机字长t越大，其精度越高，有些数值要用双字长处理，双字长数据也称双精度数。