第4章刚体的转动

1第第第四四四章章章刚刚刚体体体的的的转转转动动动刚体是一个理想化的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。即运动过程中没有形变的物体。本章主要内容：刚体定轴转动定律；力矩和转动惯量；角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动动能定理。重点：基本概念（定轴转动、转动惯量、力矩、角速度、角加速度等）；刚体的定轴转动定律；转动惯量的计算。难点：刚体的定轴转动定律的应用第一节刚体的平动、转动和定轴转动刚体运动研究的基础：刚体由无数个连续分布的质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元。每个质点都服从质点力学规律。刚体的运动：平动和转动。任何复杂的运动为两者的叠加。一、刚体的运动1.平动刚体上任一给定直线（或任意二质点间的连线）在运动中空间方向始终不变而保持平行。平动转动2.转动如果刚体上所有的质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称刚体的转动，这条直线称转轴。（1）定轴转动：转轴相对参考系静止。（2）定点转动：转轴上只有一点相对参考系静止，转动方向不断变动。（3）刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。二、刚体转动的角速度和角加速度定轴转动的特征：刚体上不同点的avr,,不同，但,,相同。如何更好地描述这些特征呢？1.角位置，角坐标、角速度（标量）2（1）角位置：位矢与ox轴的夹角。（2）角位移d：dt时间内角位置的增量。定轴转动的只有两个转动方向，对d，我们规定：位矢从ox轴逆时针方向转动时角位置为正，反之，为负。（3）角速度：dtd2.角速度和角加速度（矢量，后面应用）（1）角速度矢量一般情况下，角速度用矢量ω表示，而且dtd，其方向与刚体的转动方向满足右手螺旋关系。质元的速度：rv（2）角加速度矢量：22dtddtd大小：dtd方向：0d为加速转动，与同向；0d为减速转动，与反向；3.线量与角量的关系（第一章已经介绍）178、179页两个例题较容易，请自学。第第第九九九讲讲讲第二节刚体的角动量转动动能转动惯量在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。在研究力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量、转动动能、转动惯量。一、刚体的角动量：1.质点的角动量如图，质量为m的质点位于A点，相对原点O的位矢为r，并具有动量（速度v）。定义：该质点对原点O的角动量为vrmprL即大小：sinrmvL方向：垂直于r和v（或p）的平面，并遵守右手螺旋法则。单位：12smkg（千克二次方米每秒）注意：（1）质点的角动量是与r和p有关的，即与参考点O的选择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一参考点而言。（2）若质点在作半径为r的圆周运动，则对圆心O的角动量L的大小为2mrrmvL，方向与ω相同。（3）角动量的概念，在大到天体的运动，小到质子、电子的运动的描述中，都要应用到。例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。32.刚体的角动量：如图（见书P180图4-7），以角速度w绕定轴Oz转动的一根均匀细棒，把细棒分成许多质点，其中第i个质点的质量Δmi绕轴作半径为r的圆周运动相对于O点的位置Ri，它对O点的角动量为：ΔLi=Ri×(Δmivi)因vi垂直Ri，所以的ΔLi大小ΔLi=ΔmiRivi，方向如图（见书P180图4-7）；刚体对O点的总角动量（刚体绕定轴的角动量）L的方向和每个Lz的方向一致。ΔLiz=ΔLicosθ，因此：Lz=ΣΔLicosθ=ΣmiRivicosθ=ΣΔmirivi=(ΣΔmiri2)w式中(ΣΔmiri2)w叫做刚体对OZ轴的转动惯量。则刚体的角动量和刚体的转动惯量表达式：J=ΣΔmiri2Lz=Jw推广：如右图，一刚体以角速度w绕定轴Oz转动，则其上每一个质点都以相同的角速度绕轴Oz作圆周运动，任一质点对轴Oz的角动量为2iiiiirmrvm，于是刚体上所有质点对轴Oz的角动量，即刚体对定轴Oz的角动量为：)(22iiiiiirmrmL，其中Jrmiii2为刚体绕轴Oz的转动惯量，所以刚体对定轴Oz的角动量为：JL二、刚体转动惯量：1.定义刚体绕给定轴的转动惯量J等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。niiirmJ12它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。2.物理意义：转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。3.单位：2mkg4.转动惯量的计算：点→线→面→体（1）如果刚体上的质点是连续规则分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即dmrJ2；（2）几何形状不规则刚体的J，由实验测定。（3）回转半径niiGmmmJr1,为刚体的总质量。5.几种常见刚体的转动惯量见表4-2。(p.185，10个公式全部记忆三、刚体的转动动能：刚体转动时的动能，是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体上各质元质量immm,,,21速率ivvv,,,21到转轴的垂直距离irrr,,,21当刚体以角速率w绕定轴转动时，第i个质元的动能为2222121iiiirmvm。整个刚体的动能为2222)(2121iiiiiikrmrmE。因此221JEk，即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。其形式与质点动能的相似。4平动与转动相应物理量的比较：平动：平动动能mv2/2线动量mv转动：转动动能221JEk角动量Jw例4-1：（p.178）例4-2：（p.179）例4-3（P。182）例4-4（P。184）习题：P。219第2、4、6题第三节力矩刚体定轴转动定律思考：刚体为什么会转动？刚体转动状态改变的规律是什么？一、力矩举例：门的转动如图刚体的一个横截平面，可绕通过点O且垂直于该平面的转轴Oz旋转。作用在刚体内点P上的力F亦在此平面内。从转轴与截面的交点O到力F的作用线的垂直距离d叫做力对转轴的力臂，力的大小F和力臂d的乘积，就叫做力F对转轴的力矩M：FdMr为由点O到力F的作用点P的矢径，为径矢r与力F之间的夹角。上述力矩大小为：sinFrM。力矩不仅有大小，而且有方向。1.力矩的矢量式（1）力在垂直于转轴的平面内FrM，大小：sinFrM，方向：满足右手螺旋关系，垂直于r与F所构成的平面。（2）一般情况下FFF//，其中//F为平行转轴的分力，F为垂直转轴的分力，这时只有F能改变刚体的定轴转动状态，因此有：FrM大小为：M=F⊥rsinφ=F⊥d（3）单位：Nm牛顿米2.合力矩21MMM3.注意（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；（2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；（3）刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。（4）对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效果。二、定轴转动定律1.定律的推导如图所示，刚体上某一质点i，质量为im，绕Oz轴作半径为ir的圆周运动。设质点i受外力iF和刚体中其它质点作用的内力iF的作用，并设这两种力均在与Oz轴相垂直的同一平面内。由牛顿第二定律，质点i的运动方程为：iiiimaFF5切向方程为：iiiiiiiirmamFFsinsin法向方程为：2coscosiiiniiiiirmamFF上式两边各乘以ir，得：2sinsiniiiiiiiirmrFrF外力矩内力矩若考虑所有质点，则由可得iiiiiiiiiiirmrFrF2sinsin0siniiiiθrFiiiiiiiirmrF2sin令iniiirFMsin1，它为刚体所受的外力矩，因niiirmJ12为转动惯量，则有：JM2.刚体定轴转动定律表述表述一：在总外力矩Mz的作用下，所获得的角加速度α与总外力矩的大小成正比，并与刚体对此定轴的转动惯量成反比，这个关系叫刚体定轴转动定律。JM=Jdω/dt表述二：刚体所受到的对某给定轴的总外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率Mz=d(Jω)/dt=dLz/dt。3.讨论（1）和牛顿第二定律相比较，地位相当；（2）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。（3）定轴转动情况下，可以使用双向标量来处理。)三、平行轴定理刚体绕任何一轴的转动惯量J和绕通过其质心平行轴的转动惯量JC的关系：2mdJJC两轴平行；JC为刚体绕质心轴的转动惯量；d为两平行轴间距离。思考：如何证明平行轴定理（利用质心的定义）。例4-5、4-6：（p.189-192）作业：221页第11题，222第13、14题。第四节定轴转动的动能定理本节通过考虑力对空间的累积作用而引出动能定理。一、力矩作功当刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移时，力矩对刚体作了功。1.力矩所作的元功如图，设刚体在切向力tF的作用下，绕转轴OO转过的角位移为d。则力tF的作用点位移的值为rdds。由功的定义得力tF在这段位移内所作的功为rdFdsFdWtt考虑tF对转轴的力矩为drFMt，所以力矩所作的元功6为：MddW。可见，力矩所作的元功dW等于力矩M与角位移d乘积。2.恒力矩所作的功MdMdWW00即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度的乘积。3.变力矩所作的功21MdW注意：上两式的M是指作用在绕定轴转动刚体上诸外力的合力矩。即上两式研究的是合外力矩对刚体所作的功。4.力矩的功率用于表示力矩作功的快慢。定义：单位时间内力矩对刚体所作的功，即：MdtdMdtdWP可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。二、刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩M对刚体作用使其绕定轴转过角位移d时所作的元功为MddW若J为常量，把转动定律dtdJJM代入得：dJddtdJddtdJdW在t时间内，合外力矩使刚体的角速率从1ω变到2ω时，对刚体所作的功为21dJdWW即21222121JJW合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量——刚体绕定轴转动的动能定理。三、刚体的重力势能：如果一个刚体受到保守力的作用取地面坐标系，对于一个质量为m的刚体，其重力势能是组成刚体的各个质点的重力势能之和，即：Ep=ΣΔmigh=gΣΔmihi,椐质心的定义，此刚体的质心高度为hc=ΣΔmihi/m，上式改写为：Ep=mghc。一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。例题：P195。4-7；P196。4-8。第五节刚体的自由度*刚体的平面平行运动一、刚体的自由度：1、自由度的定义：决定系统在窨的位置所需要的独立坐标数目。例一个行贿点在空间自由运动，它的位置需要三个独立坐标来决定，该质点就有三个自由度。2、刚体自由度：刚体有六个自由度，三平动自由度，三个转动自由度A、要指出刚体上某定点（例质点）的位置，需要三个独立坐标来决定（书图4-18）；B、用两个独立坐标确定通过刚体内定点C的直线CA的方位