第4章学案19

学案19函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标：1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.图象变换：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象可由函数y＝sinx的图象作如下变换得到：(1)相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)，把y＝sinx图象上所有的点向____(φ0)或向____(φ0)平行移动____个单位．(2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标______(0ω1)或______(ω1)到原来的________倍(纵坐标不变)．(3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A1)或______(0A1)到原来的____倍(横坐标不变)．3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝________叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为__________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为__________．自我检测1．要得到函数y＝sin2x－π4的图象，可以把函数y＝sin2x的图象向________平移________个单位．2．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(x∈R，ω0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为________．3．(2010·四川改编)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．4．弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s与时间t之间的关系式为s＝10sin(12t－π4)，t∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________，初相是________．5．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A0，ω0)，则A＝________，ω＝________.探究点一三角函数的图象及变换例1已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1设f(x)＝1＋sin(2x－π6)，x∈R.(1)画出f(x)在－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调区间；(3)如何由y＝sinx的图象变换得到f(x)的图象？探究点二求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f(x)的解析式．变式迁移2(2010·宁波高三二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．求f(x)的解析式及x0的值；探究点三三角函数模型的简单应用例3已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin100πt＋π6表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．数形结合思想例(14分)设关于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1－a21－a2≠32.[4分]即－2a－3或－3a2.[7分](2)由图知：当－3a2，即－a2∈(－1，32)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.[10分]当－2a－3，即－a2∈(32，1)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，由对称性知，α＋β2＝π6，[13分]∴α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.[14分]【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sinx＝x的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－3时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y＝sinx的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是________．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)图象的一部分如图所示，其解析式为________．3．(2011·徐州模拟)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向________平移________个单位．4．(2009·辽宁改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝________.5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A0，ω0，|φ|π2)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是______________．6．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．7．(2011·宜昌模拟)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)的值为________．8．(2011·南通期末)若函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m对任意t都有f(t＋π4)＝f(－t)，且f(π8)＝－1，则实数m的值等于________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－6，－23]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．10．(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，0ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象过点M(0,2)．又f(x)的图象关于点N3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f(x)的解析式．11．(14分)(2010·山东)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)·cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间0，π16上的最小值．答案自主梳理1.0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φω0π2π3π22π2.(1)左右|φ|(2)伸长缩短1ω(3)伸长缩短A3.A2πω1Tωx＋φφ2π|ω|π|ω|自我检测1．右π82.π83.y＝sin12x－π104．4π14π1012t－π4－π45.102π15课堂活动区例1解题导引(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20描点连线，得图象如图所示：(3)方法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象，再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象，最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．方法二将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin2x＋π3的图象．变式迁移1解(1)(五点法)设X＝2x－π6，则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描点连线即可得图象，如图．(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得单调增区间为－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得单调减区间为π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.(3)把y