球类运动中的物理--徐舶航

球类运动中的物理假如足球守门员大力开球同样的角度和初速度，表面光滑的球和表面粗糙的相比，哪一个飞得更远？被问到的大多数人基于直觉，认为飞行时光滑球所受空气阻力较小，选择了前者，可惜回答是错误的。少数人认为问题必含玄机，选择了后者，但也说不出原因表面光滑的球和表面粗糙的相比，哪一个飞得更远对球类飞行动力学的研究，开始得较早、工作也较多的是对高尔夫球所做的研究。早在1910年，著名物理学家J.J.Thomson就发表了这方面的研究论文，相继的研究工作导致了为让球飞得更远，在球的表面上采用了布满小凹痕的设计。事实上一个表面光滑的球，职业选手击出后的飞行距离，大约只是布满凹痕球的一半。回到我们接触较多的足球，按竞赛规则要求，球的外壳必须是用皮块并通过预先穿好的针眼缝合在一起的。针眼总数约2000个，缝线凹槽深度约1-2mm，球面上的这些缝线凹槽同样对球的飞行有重要影响。守门员大力开球，将球踢到对方半场是很平常的事，是如果用光滑球，没有缝线凹槽的功劳，恐怕就不太容易做到了。粗糙的表面可降低空气阻力的道理涉及“边界层”的概念。对于空气、水和油等具有黏性的实际流体，描述其动力学行为的是Navier-Stokes方程（简写为N-S方程），针对具体的问题，给出相应的初条件和边条件，原则上可得到解答。由于这是一组非线性的二阶偏微分方程组，且具体问题的边条件往往又十分复杂，仅在少数特定情况下才可解。利用沉降的小球测量油的黏性系数η是我们熟悉的例子，这是雷诺数Re1的极端情形，Re=ρvd/η，其中ρ是流体的密度，v是流速，d是物体相关的特征长度，这里是球的直径。很小的雷诺数意味着面对的问题属黏性显著占优势的情形：或流体有很高的黏性系数，或对平常流体当问题涉及的尺度很小的时候，此时N-S方程因惯性力项可全部略去而可解，在小球沉降情形，得到的是我们熟悉的描述小球所受阻力大小的Stokes方程。在球类运动中，涉及的流体是空气，如果将水的黏性系数定为1，重机油的约为60，而空气的则是1/60，属低黏性流体，相应的雷诺数很大，约在105的量级。在大雷诺数情形，对N-S方程的求解是十分困难的课题：如果因黏性系数小而将方程中相应项完全略去，相当于将流体视为无黏性的理想流体，方程可解，但得到的结果往往与实验观测不符；如不略去黏性力项，方程又难于求解。1904年，德国科学家普朗特引入“边界层”的概念，解决了这一难题，是近代流体力学的重大发展之一。边界层理论的基本想法是，在黏性系数很小的情形，可将整个流场分做两部分处理，黏性只表现在附着于物体表面上的边界层内；从表面向外，边界层中气流的速度从零逐渐加大到与外部气体流速相同，不同速度层间存在摩擦损耗。对于边界层以外的流体，则完全略去黏性力的影响，用理想流体的理论处理，并将得到的解作为边界层外缘的边条件，这样整个问题可得到解决。边界层的厚度δ约等于d/Re1/2，其中d为球的直径,对于足球，取Re为1105，δ~1mm，这和足球表面的缝线槽深相近，可以预期，缝线槽的存在会对球的空气动力学有重要的影响。图2（a）给出了在完全略去空气的黏性并将其视为理想流体时球周围流线的截面图。这里为简单起见，将流线直观地理解为一小块空气所走的路径。准确地讲，在这种意义下得到的是流体的迹线，表达同一时刻空间各点流速的方向的流线和迹线，仅在定常流动——即流动情况不随时间改变时——才是相同的。对于图中i，j两条平行等距的相邻流线，在接近球体A点（流体力学中习惯称之为驻点）时，间距开始缩小，在B点处间距最小，其后逐渐加大，恢复到平行等距。在定常流动情形，单位时间流过相邻流线间任一截面的流体质量总是相等的，由此可以知道，从接近球的前端A点到球的顶端B点，或底部D点，气流是加速的，气流进而向C点流动，此时是减速的,按照我们熟悉的伯努利定理，A，C两点处气体压强要比B，D两点高，但是从对称性的考虑，在气流中的球体感受到的净压强为零，没有阻力作用在球上弧线球和弧圈球足球运动员在罚直接任意球或角球时踢出的弧线球（也常称为香蕉球），在空中划出美妙的曲线，绕过人墙飞入球门，令人叹为观止。从力学原理知道，球的转向必定是受到侧向力的结果；从运动员踢弧线球的脚法，我们可以推断，这种力一定和球的旋转有关在乒乓球运动中,弧圈球是运动员广为采用的技术之一，正手拉加转弧圈球和前冲弧圈球都是强烈上旋的，球上端的周向速度与气流速度相反，是向下的，球的飞行弧线因而降低，且在着台后会急剧前冲下滑，很有威力什么角度投篮最准篮球的表面上有缝线凹槽，且截面积较大，从前面几节的讨论，读者也许会预期，对本节问题的回答，多半又要涉及边界层的行为了。实际上空气阻力对篮球飞行的影响较小，原因是球的飞行速度相对较慢。典型的数值为6-9m/s，飞行的时间较短，一般在1s左右，球也要更重一些。这样，在讨论什么角度投篮最准时，我们可以先完全略去空气阻力的存在，然后再看阻力带来的修正。篮筐离地的高度是3.05m，假如站在罚球线附近投篮，球距篮筐中心水平距取为L=4.1m，设篮筐比运动员手中球的中心高h=0.61m，考虑到球的初始位置要高过投篮者的头顶，这相当于假定投篮者身高约1.83m左右，为普通的篮球爱好者。把球看成为质点，用有关抛物运动的公式，可以得到如图6所示的，为使篮球通过篮筐中心，球出手的速度v0和角度θ0之间的关系曲线。考虑到球必须在其轨道下降阶段进入筐内，特别是球有一定的大小，直径稍大于篮筐的半径,球飞行的路线不可过于平直，最小投射角θ0应该大于42.5°。也是由于球有一定的大小，且直径比篮筐的小，v0固定时θ0有一定的宽容度，θ0给定时，v0也可稍有变化。考虑这些因素，再加上低的v0意味着投篮时用力也少一些，最佳的投射角是图6中最低速度对应的角度θ0m，对于上述设定的L，h值，θ0m为49.2°。在L取值为3到7.6m（稍远于3分球线）的范围内，运动员一般采用不碰篮板的直接进篮方法，考虑到运动员身高不同，h取值为0.3到1.2m，得到的θ0m在45°到55°之间，在距离和球员的高度增加时，θ0m近45°。在距离L相等时，小h值对应的v0和θ0的宽容度要大一些，这对高个球员较为有利