理想微分高通比例低通积分模型与实际系统对比

信号与系统综合练习1理想的微分、高通、比例、低通、积分系统模型与实际系统对实际信号进行微分、高通、比例、低通、积分处理。天津大学云泽霖3013202089中文摘要：微分、高通、比例、低通、积分系统是常用的信号处理系统，也是信号处理的基础系统，该类系统的性能影响着更高级别的信号处理，所以该类系统的重要性不言而喻。本课题对该类系统进行研究，主要研究内容为理论系统分析研究和实际系统效果研究，并将理论结果与实际结果进行对比，分析实际系统的各项参数对实际系统的信号处理性能的影响。主要研究方式为理论计算、计算机模拟仿真和实际系统搭建。关键词：理想系统模型、实际系统模型、微分、高通、比例、低通、积分引言微分、高通、比例、低通、积分系统都属于信号处理，以往的信号处理系统由RLC组成，属于无源系统，是利用电感、电容和电阻的组合设计构成的电路。之后随着集成电路的发展，运算放大器走进了人们的视野，依靠运算放大器的一些特性，人们又随之开发出特性更好的信号处理系统。本文结构分为横向和纵向，横向为微分、高通、比例、低通、积分系统，纵向为各个系统的理想系统模型与实际信号处理的特性差异以及不同系统构成（有源无源）所带来的特性差异。理论基础（一）微分系统微分电路可把矩形波转换为尖脉冲波，此电路的输出波形只反映输入波形的突变部分，即只有输入波形发生突变的瞬间才有输出。而对恒定部分则没有输出。电路图如图1-1：信号与系统综合练习2iCCuRCtuRCtu1)(1)(,图1-1由图可得：iRCuuu)()(,tCutiC)()()(,tRCutRituCR所以，如RC的乘积，即时间常数很小，Uo’项可忽略，在t=0+即方波跳变时,电容器C被迅速充电,其端电压，输出电压与输入电压的时间导数成比例关系。所以理想的微分电路波形如图1-2：图1-2但是，在实际系统中，如果此时输入信号为阶跃函数，则可根据具体R、C,,1RC1ioouRCuu信号与系统综合练习3数值求出Uo的方程，基本形式为e的指数函数，所以实际系统的理论信号输出如图1-3，在后面的试验中我们会进一步验证这个观点是否正确：图1-3上面的微分系统是由RC组成的无源信号处理系统，随着集成电路的发展，运算放大器的出现，使得基于运算放大器的一系列信号处理系统随之诞生，产生了基于运算放大器的微分系统，如图1-4：图1-4根据运算放大器的虚短虚断的特性，我们可以得到Vn=0，当信号Ui接入之后便有：,CCui,iONRCuiRuv,iORCuu上式表明，输出电压Uo正比于输入电压Ui对时间的微分，负号表示相位相反。相比于无源微分电路，基于运算放大器的有源微分电路性能更好，跟接近于理想情况，当然这一切的前提都是建立在运放为理想运放的前提上。信号与系统综合练习4CXC1)RC1j-11()1(UiCjRRUiUo微分电路的特性使其主要用于脉冲电路、模拟计算机和测量仪器中。（二）高通滤波器作为滤波器中的一种，高通滤波器又称低截止滤波器、低阻滤波器，允许高于某一截频的频率通过，而大大衰减较低频率的一种滤波器。它去掉了信号中不必要的低频成分或者说去掉了低频干扰。按照所采用的器件不同分类有源高通滤波器、无源高通滤波器。无源高通滤波器：仅由无源元件(R、L和C)组成的滤波器，它是利用电容和电感元件的电抗随频率的变化而变化的原理构成的。这类滤波器的优点是：电路比较简单，不需要直流电源供电，可靠性高；缺点是：通带内的信号有能量损耗，负载效应比较明显，使用电感元件时容易引起电磁感应，当电感L较大时滤波器的体积和重量都比较大，在低频域不适用。RC无源高通滤波器的电路如图2-1所示：图2-1据此我们可以列出方程：由导出式我们可以看到，输出随着时间常数变化而变化，时间常数越大的信号分量（频率越低）经过高通滤波器之后的幅度越低，相位超前越多，而时间常数越小的信号分量（频率越高）经过高通滤波器之后幅度越趋近于不变，相位超前越小。信号与系统综合练习5sGsCRRfsUisUosGC111)()()(010RRGfCRC11CjGjG1)(0201)(CGG)arctan()(C有源高通滤波器：由无源元件(一般用R和C)和有源器件(如集成运算放大器）组成。这类滤波器的优点是：通带内的信号不仅没有能量损耗，而且还可以放大，负载效应不明显，多级相联时相互影响很小，利用级联的简单方法很容易构成高阶滤波器，并且滤波器的体积小、重量轻、不需要磁屏蔽(由于不使用电感元件）；缺点是：通带范围受有源器件(如集成运算放大器）的带宽限制，需要直流电源供电，可靠性不如无源滤波器高，在高压、高频、大功率的场合不适用。电路如图2-2：图2-2此为一阶有源高通滤波器，传递函数：为通带增益，为截止角频率。频率特性：幅频特性：相频特性：一阶高通滤波器的缺点是：阻带特性衰减太慢，为⒛dB／10oct，所以这种电路只适用于对滤波特性要求不高的场合。为了克服一阶高通滤波器的上述缺点，可采用二阶高通滤波器，二阶有源高通滤波器电路如图2-3：信号与系统综合练习6222)/()(CCVFsQssAsAVFCAQRC31,1nCAjA20/1)(VsRRVof)1(1图2-3可得传递函数为：巴特沃斯高通滤波器传递函数：所以，随着阶数的增加，其幅频特性更接近理想特性。（三）比例运算电路比例运算电路分为同相比例运算电路和反向比例运算电路。两电路结构相似，所以本文仅介绍同相比例放大电路。同相比例运算电路电路图如图3-1：图2-4信号与系统综合练习7目前猜测放大效果与信号频率有一定关系。（四）低通滤波器与高通滤波器类似，低通滤波器也分为无源和有源滤波器。最简单的无源一阶低通滤波器如图4-1：图4-1可以看到随着ω增大输出信号幅度降低。除了无源的低通滤波器，还有基于运放的有源滤波器，如图4-2：低通滤波器有很多种，比如巴特沃斯滤波器，特点是通频带的频率响应曲线最平滑，也就是说在通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。巴特沃斯如图4-4：图4-4jssRCUiUiCjRCjUijXRjXUoCC,111信号与系统综合练习8巴特沃斯低通滤波器可用如下振幅的平方对频率的公式表示：其中,n=滤波器的阶数ωc=截止频率=振幅下降为-3分贝时的频率ωp=通频带边缘频率为在通频带边缘的数值巴特沃斯滤波器的特点是波形过渡平滑，如图4-5：图4-5上图是巴特沃斯滤波器（左上）和同阶第一类切比雪夫滤波器（右上）、第二类切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。以上均为无源低通滤波器，而有源低通滤波器如图4-6：图4-6nPnCH22221111)(信号与系统综合练习9由原理图可得：继而可导出电路图的传递函数：其中RCC/1幅频响应：（五）积分电路积分电路也分为有源积分电路和无源积分电路。无源积分电路由电容电阻构成，如图5-1：图5-1可得表达式为：)(11)(sVsRCsVpiCOCVFAsAsVisVosAs111)()()(201CAjAtiodttvRCv0)(1信号与系统综合练习10dtvRCviO1图5-2积分电路是使输出信号与输入信号的时间积分值成比例的电路，如图5-2所示可以看到无源RC积分电路工作波形。波形分为理想积分波形和失真波形部分。若时间常数RC足够大，外加电压时，电容C上的电压只能慢慢上升。在tRC的时间范围内，电容C两端电压很小，输入电压主要降落在电阻R上，充电电流i≈Vi（t）/R，输出电压V0（t）为V0（t）=1/Cdt≈1/RCdt。即输出电压近似与输入电压的时间积分值成比例。如果输入信号Vi（t）是一个阶跃电压，理想积分电路的输出是一线性斜升电压，如图5-2虚线所示。简单的RC积分电路的实际输出波形与理想情况不同，在tRC的时间范围内，输出电压比较接近于理想的线性斜升电压，随着时间延续，电容两端的电压增高，充电电流减小、输出电压就越来越偏离理想积分电路的输出，如图5-2中实线所示。积分电路也可以由运算放大器和电阻电容组成，如图5-3：图5-3上式表明，输出电压vo为输入电压vi对时间的积分，负号表示他们在相位上是相反的。当输入的信号为阶跃信号时，电容器将以类似恒流的方式充电，可参看无源积分的图示，两者类似，在理想部分输出电压和时间t成近似线性关系，如图5-4：dtRvCdtiCvviON111信号与系统综合练习11图5-4因此有：其中RC为时间常数可以看到有源低通滤波器在拐点处处理的更好，相比较而言有缘的滤波器性能更好。实际模型效果与理论对比（一）微分电路实际效果与理论对比根据微分电路的理论部分推导我们可以得出如下关系式：𝑈𝑜=1/𝑅𝐶𝑈𝑖，试验中我们选择1KHz，Vpp=5的方波信号，根据理论情况，得到的应该是大小为1/RC的冲击信号。实验使用的电容选择电容为10×103𝑝𝑓的无极性电容，电阻为20K，输出波形如下：tRCVviO信号与系统综合练习12我们发现得到的输出信号和理论差了很多，不过可以看到是一种指数形式的信号，此时考虑到是否原因是时间常数RC过大的原因，我们更换一个更小的电容试一试，波形如下：可以看到波形发生了非常大的变化，变得非常趋近于理想波形，同时也验证了输出信号为一指数形式的信号的想法。那么信号的频率对信号处理的效果有没有影响呢？我们将信号的频率做一些改变，波形如下：信号与系统综合练习13频率为4KHz的信号和频率为100Hz的信号进行对比，发现信号频率越低系统的信号处理效果越趋近于理想效果。而信号峰值为470mv,和理论上的峰值差了很多。总结来说，无源微分电路的性能与信号频率，时间常数有关，信号频率越低，时间常数越短则系统的性能越趋近于理想效果。下面观察有源微分电路的实际效果，同样的我们先用和无源微分电路中相同的元件，即电容为10×103𝑝𝑓的无极性电容，电阻为20K。波形如下：信号与系统综合练习14可以看到除了冲击响应外还有很多震荡信号，和理想的微分电路有很大差异，同样的思路，我们更换一个102的电容重新实验，可以看到更理想的波形：但是带来了峰值大幅度降低的问题，在更换更小的101的电容后，几乎看不到波形了。接着我们试着减小信号频率，可以得到如下波形：可以看出微分效果比较明显，更趋近于冲击响应波形信号与系统综合练习15)RC1j-11()1(UiCjRRUiUo所以我们可以得出一些结论：信号频率比较低的用有源微分器效果好，信号频率较高的用无源或者更高阶的滤波器比较好。（二）高通电路实际效果与理论对比根据高通电路的理论部分推导我们可以得出如下关系式：当电容为10×103𝑝𝑓的无极性电容，电阻为20K时，输出信号如图：信号与系统综合练习16当输入信号为1kHz和30kHz时的信号，可以看到1kHz信号的失真程度很大，到了30kHz时失真程度已经比较小了。而且不同的信号种类失真程度也不同，正弦波的幅度失真非常小，在1kHZ时基本无法分辨，但是正弦波有相位失真，波形如下：根据电路图，我们可以得到无源高通和无源微分电路其实是相同的，所以根据无源微分电路的一些结论我们可以尝试增大RC，将电阻和电容分别换为3OK电阻和105电容，信号为5k，先换电阻，再换电容：信号与系统综合练习17可以看到电阻从20k换为30k，输出信号幅频失真有好转，电容从103换为105输出信号的幅频失真基本没有了，不过此时相应的带来另一个问题：截止频率变得非常小，高通滤波已经基本失去意义，所以我们因该在信号失真和截止频率两者之间做一个合理的取舍，但其实此时最好的解决办法是提高滤波器的阶数。接下来