理数二轮复习专题三三角函数三角恒等变换与解三角形-数学(理科)-全国卷地区专用

第8讲三角函数的图像与性质第9讲三角恒等变换与解三角形专题三三角函数、三角恒等变换与解三角形第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦考点考向探究第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦1．[2014·全国卷改编]已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝________．[答案]－45[解析]根据三角函数定义，cosα＝－432＋（－4）2＝－45.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦2．[2015·福建卷改编]若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα＝________.[答案]－512[解析]因为α为第四象限角，所以cosα＝1－sin2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－512.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦3．[2014·全国卷改编]若a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则a，b，c的大小关系是________．[答案]cba[解析]因为b＝cos55°＝sin35°sin33°，所以b＞a.因为cos35°1，所以1cos35°1，所以sin35°cos35°sin35°.又c＝tan35°＝sin35°cos35°sin35°，所以cb，所以cba.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦4．[2015·浙江卷]函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[答案]π[3π8＋kπ，7π8＋kπ]（k∈Z）[解析]f（x）＝1－cos2x2＋12sin2x＋1＝22sin2x－π4＋32，则最小正周期是π.单调递减区间：2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2（k∈Z）⇒kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8（k∈Z）.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦5．[2014·江苏卷]已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φπ)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[答案]π6[解析]将x＝π3分别代入两个函数，得到sin2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2kπ（k∈Z）或23π＋φ＝5π6＋2kπ（k∈Z），化简解得φ＝－π2＋2kπ（k∈Z）或φ＝π6＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，π），故φ＝π6.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦6．[2015·福建卷改编]要得到函数y＝sin4x－π3的图像，只需将函数y＝sin4x的图像向右平移________个单位．[答案]π12[解析]设将y＝sin4x的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin4（x－φ）＝sin（4x－4φ）＝sin4x－π3，则φ＝π12.第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦7．[2015·陕西卷]如图8­1，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．图8­1第8讲三角函数的图像与性质返回目录核心知识聚焦[答案]8[解析]据图可知，－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8.第8讲三角函数的图像与性质——基础知识必备——返回目录返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点一三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：利用三角函数定义、同角三角函数关系和诱导公式求值考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究例1(1)已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝()A．－43B.43C．－43或0D.43或0(2)已知α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cosα＝x5，则tanα＝()A.43B.34C．－43D．－34返回目录第8讲三角函数的图像与性质[答案](1)D(2)C考点考向探究[解析]（1）因为2sin2α＝1＋cos2α，sin22α＋cos22α＝1，所以sin2α＝0，cos2α＝－1或sin2α＝45，cos2α＝35，故tan2α＝0或tan2α＝43.（2）由题意知x0，cosα＝xx2＋16＝x5，解得x＝－3，于是tanα＝－43.返回目录第8讲三角函数的图像与性质[小结]在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．考点考向探究返回目录考点考向探究变式题当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A0)取得最小值，则函数y＝f3π4－x是()A．奇函数且图像关于点π2，0对称B．偶函数且图像关于点(π，0)对称C．奇函数且图像关于直线x＝π2对称D．偶函数且图像关于点π2，0对称第8讲三角函数的图像与性质返回目录考点考向探究[答案]C第8讲三角函数的图像与性质[解析]当x＝π4时，函数f（x）＝Asin（x＋φ）（A0）取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝－3π4＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝Asin（x－3π4）（A0），所以y＝f（3π4－x）＝Asin（3π4－x－3π4）＝－Asinx，所以函数y＝f（34π－x）为奇函数，且其图像关于直线x＝π2对称.返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与解析式题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：求解析式或解析式中的某个字母的值考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质例2设函数f(x)＝sinωx＋sinωx－π2，x∈R.(1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x的取值集合；(2)若x＝π8是f(x)的一个零点，且0ω10，求ω的值和f(x)的最小正周期．考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究解：（1）f（x）＝sinωx＋sinωx－π2＝sinωx－cosωx.当ω＝12时，f（x）＝sinx2－cosx2＝2sinx2－π4，而－1≤sinx2－π4≤1，所以f（x）的最大值为2，此时x2－π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝3π2＋4kπ，k∈Z，故相应的x的取值集合为xx＝3π2＋4kπ，k∈Z.返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究（2）依题意知，fπ8＝2sinωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋2，k∈Z，又0ω10，所以08k＋210，即－14k1，又k∈Z，所以k＝0，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin2x－π4，f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.返回目录第8讲三角函数的图像与性质[小结]三角函数最值的求法：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋k的函数可转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y＝cosx＋asinx＋b的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．考点考向探究返回目录考点考向探究变式题[2015·安徽卷]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)f(－2)f(0)B．f(0)f(2)f(－2)C．f(－2)f(0)f(2)D．f(2)f(0)f(－2)第8讲三角函数的图像与性质返回目录第8讲三角函数的图像与性质[答案]A考点考向探究[解析]依题意得f（x）在π6，2π3上单调递减，且直线x＝π6是f（x）的图像的一条对称轴.又f（－2）＝f（π－2），f（0）＝fπ3，且π6π3π－222π3，所以f（0）＝fπ3f（π－2）＝f（－2）f（2），故选A.返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点三三角函数的性质题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：三角函数图像的伸缩和平移变换考点考向探究返回目录考点考向探究例3[2015·湖北卷]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50第8讲三角函数的图像与性质返回目录考点考向探究(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值．第8讲三角函数的图像与性质返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究解：（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin（ωx＋φ）050－50且函数解析式为f（x）＝5sin2x－π6.返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究（2）由（1）知f（x）＝5sin2x－π6，所以g（x）＝5sin2x＋2θ－π6.因为y＝sinx的图像的对称中心为（kπ，0），k∈Z.所以令2x＋2θ－π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z.由于函数y＝g（x）的图像关于点5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，k∈Z，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z.由θ0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究[小结]函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．返回目录考点考向探究变试题函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|π2的图像向左平移π6个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A．－32B．－12C.12D.32第8讲三角函数的图像与性质返回目录考点考向探究第8讲三角函数的图像与性质[答案]A[解析]函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图像向左平移π6个单位长度后得到y＝sin2x＋π6＋φ＝sin2x＋π3＋φ的图像，又其关于原点对称，故π3＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－π3，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝－π3，所以f（x）＝sin2x－π3.又因为x∈0，π2，所以sin2x－π3∈－32，1，即当x＝0时，f（x）min＝－32.返回目录第8讲三角函数的图像与性质►考点四三角函数图像与性质的综合应用题型：选择、填空、解答分值：5～12分难度：中等热点：三角函数图像和性质的判断与应用考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质例4已知函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋a，当x∈0，π2时，f(x)的最小值为2.(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再将所得的图像向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图像，求方程g(x)＝4在区间0，π2上所有根之和．考点考向探究返回目录第8讲三角函数的图像与性质考点考向探究解：（1）f（x）＝cos2x＋1＋3sin2x＋a＝2sin