理论力学动力学普遍定理.

理论力学中南大学土木工程学院1理论力学中南大学土木工程学院2一、质点系的质心iiiiiiCCCmxmymzxyzmmm，，§10-1质点系的质心内力与外力在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。yCxzOyCxCzCrCrii()imm质心C点的位置：iiiiCimmmmrrrCCCCxyzrijk质点系的质量中心称为质心。是表示质点系质量分布情况的一个重要概念。理论力学中南大学土木工程学院3内力：质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：(i)(i)0()0iOi；FMF二、质点系的内力与外力外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。(i)(i)(i)()0()0()0xiyiziMMM，，FFF理论力学中南大学土木工程学院4转动惯量的计算122221d12lzlmJxxmll2201d3lzmJxxmll解：1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）[例]均质细直杆长为l，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz及对z1轴的转动惯量Jz1。zdxxxOl2lz1dxxxC2l理论力学中南大学土木工程学院5zR222ziiiJmrRmmRxyRrdr22201d2d2RzJrmrrrmR设细圆环的质量为m，半径为R。则均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm=·2rdr，=m/R2，于是圆板转动惯量为理论力学中南大学土木工程学院6由所定义的长度rz称为刚体对z轴的回转半径。zzJmr2zzJmr对于均质刚体，rz仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的Jz和rz，以供参考。2、回转半径理论力学中南大学土木工程学院73、平行移轴定理刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。2zzCJJmdzCzydxmiCOzixiriCriyixCyiC222()zCiiCiiiCJmrmxy22222()[()]ziiiiiiiiCJmrmxymxyd2222()()2ziiiCiiiCzCJmxymddmyJmd刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。0iiCmy理论力学中南大学土木工程学院8动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传递的规律。力的功是力沿路程累积效应的度量。cosWFsFs时，正功；时，功为零；时，负功。功的单位：焦耳（Ｊ）；2221J1Nm一、常力的功(力是常矢量)FM1M2s§12-1力的功功是代数量。理论力学中南大学土木工程学院9二、变力的功力F在曲线路程中作功为21MM设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，力F在微小弧段上所作的功称为力的元功，记为dW，于是有δcosdWFs0cosdsWFs自然法表示的功的计算公式上两式可写成矢量点乘积形式δdWFr21dMMWFr矢径法表示的功的计算公式M'M1M2dsMdrFδdddxyzWFxFyFz21(ddd)MxyzMWFxFyFz直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。理论力学中南大学土木工程学院10三、常见力的功质点系1212g()g()iiiiCCWWmzzmzz质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。00gxyzFFFm，，代入功的解析表达式得211212(g)dg()zzWmzmzz1、重力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz理论力学中南大学土木工程学院11221100d()dMMMMWkrlFrrr2011ddd()d()d22rrrrrrrrrrr200)(d2d)(2121lrkrlrkWrrrr])()[(2202201lrlrk222212()()22kkWdddd末初有限变形下弹性力的功只与弹簧的初始变形和末变形有关，与力作用点的路径无关。2、弹性力的功(指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关)弹簧原长l0，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内k—弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。00()krlFr110220rlrldd初变形末变性A1A2r2r1l0Or0rAdFA0dr理论力学中南大学土木工程学院12OzO1A设作用在定轴转动刚体上A点的力为F，将该力分解为Ft、Fn和Fb。当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为tcosFFddsRjR为点A到轴的垂距。力F的元功为ttδd=dddzWFsFRMjjFrFtFrFbFn力F在刚体从角j1转到j2所作的功为2112dzWMjjj3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功作用面垂直转轴的常力偶M，则力偶作的功为1221()WMjj理论力学中南大学土木工程学院13dd0CtrvSSdd0CWtdFrFv法向力FN，静摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。(1)动滑动摩擦力的功2211NddMMMMWFsfFsFN=常量时，W=－fFNs，与质点的路径有关。圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功!4、摩擦力的功FNFSCPRwO理论力学中南大学土木工程学院145、质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。刚体内力功之和等于零，不可伸长的绳索内力功之和等于零，但变形体内力功之和不为零，例如弹簧的功不为零。ddABWdFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr6、任意运动刚体上力系的功结论1：任意运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。结论2：任意运动刚体上力系的功，也等于力系向任一点简化所得的力与力偶作功之和。(虚位移原理用)OABrArBFF'理论力学中南大学土木工程学院15约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。4、柔性约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。RRRRdddd0WdFrFrFrFrNNd0(d)WdFrFr1、光滑固定面约束drFNNNS()d0CWdFFr3、刚体沿固定面作纯滚动FNFSC四、理想约束力的功2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）drFRFR'理论力学中南大学土木工程学院16物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳)。对于任一质点系：（viC为第i个质点相对质心的速度）221122CiiCTmvmv柯尼希定理221mvT一、质点的动能212iiTmv二、质点系的动能§12-2动能理论力学中南大学土木工程学院17212PTJw（P为速度瞬心）2PCJJmd222221111()2222CCCJmdmvJ22221111()2222iiiCTmvmvmvmv2222111()222iiiizTmvmrJww3、平面运动刚体三、刚体的动能2、定轴转动刚体1、平移刚体只能对瞬心和质心用，对其它点不存在类似的公式。w质心C瞬心P理论力学中南大学土木工程学院18221122CCTmvJw212CCJmRvRw，243CmvTCvRvw2211()22CTmvrJww221122CCTmvJw均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能wvCvC均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能CvCw理论力学中南大学土木工程学院19P为AB杆的瞬心2234AATmvsinAΑΒvlw2113PJml2212126sinAABPABmvTJw21223()6sin4AmTmvAΑΒvPAw解：AABTTT[例]均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰链与质量为m2、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作纯滚动，杆与水平线的夹角为，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。vAABCPwAB理论力学中南大学土木工程学院20解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为CACAvvv速度合成矢量图如图，由余弦定理有：222222221122142cos(180)()2coscosCACAACAAAAAvvvvvvlvlvllvjwwjwwj则杆的动能222222222211221111242121123(cos)()(cos)CCAAAATmvJmvllvmlmvllv[例]如图滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度w绕A转动。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j时，杆的动能。BjvAwABjvAwACvCvAvCA理论力学中南大学土木工程学院211221TTW质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的约束力不作功，但质点系的内力作功之和并不一定等于零，例如弹簧在系统内作功。一、质点系的动能定理质点系在一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力在此过程中所作功的和。对理想约束，等于全部主动力所作功的和。当可以求出任意位置的动能和功的表达式时，利用上式求导可求加速度或角加速度。§12-3动能定理理论力学中南大学土木工程学院22[例]已知均质圆盘质量为m，半径为R，摩擦因数为f，斜面倾角为j。求纯滚动时盘心的加速度。jCFNmgvCwFS解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移s时速度达到vC。s10T力的功：12sinWmgsj由动能定理得：230sin4Cmvmgsj2234CTmvjsin32ga上式两边对时间求导得：理论力学中南大学土木工程学院23wII解：取整个系统为研究对象T1=022222122211123222AmlmrTmvwwAAvlvlrr，222222212212229()()62412mlmmrmmlTllr12WMj根据动能定理，得221229012mmlMwj①将①式对t求导数，得2126(29)Mmml122329Mlmmjw[例]水平面上行星齿轮机构的曲柄OA受力偶M作用而绕固定水平轴O转动，并带动齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动如图所示。设曲柄OA为均质杆，长l、质量为m1；齿轮Ⅱ为均质圆盘，半径r、质量为m2。试求曲柄的角速度及角加速度。P321，12-12OAMⅡⅠw理论力学中南大学土木工程学院24[例]图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线为水平线，重物D重Q，盘A上作用有常力偶矩M。问下落距离h时重物的速度与加速度。(不可伸长的绳不计自重，盘B作纯滚动，初始时系统静止)ABCOMD解：取系统为研究对象，设重物速度为v，加速度为a。01T2222111222OACBQTJvJgww2222