理论力学拉格朗日方程

12本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。3§17–1动力学普遍方程§17–2拉格朗日第二类方程§17–3拉格朗日第二类方程的积分第十七章拉格朗日方程4iiiiiiiiamQaNFmM;,,,:设质点系有n个质点，第i个质点0iQNFii若质点系受有理想约束，将作为主动力处理，则：iQ0)(iiirQF解析式：0])()()[(iiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX§17-1动力学普遍方程动力学普遍方程。5例1三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为。试求三棱柱A的加速度。解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。rrBeBrBeBBAmaQmaQQQQMaQ,在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。6由动力学普遍方程：0)sincos()cos(BrBeBArBeBAsQQQxQQQ系统为二自由度，取互不相关的为独立虚位移，且，所以BAsx,mgQ0sincos0cosrrmamgmamamaMa解得：gmMma)sin(22sin27§17-2拉格朗日第二类方程设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点。若取系统的一组广义坐标为，则iiirmM,:kqqq,,21)()2,1()(),2,1(),,,(121bnitrqqrdtrdvanitqqqrrkjijjiiikii称为广义速度。dtdqqjj8kjjjiicniqqrr1)(),2,1(代入质点系动力学普遍方程，得：niniiiiiiniiiiidramrFramF111)(0)(kjjjkjjjiinijiijiikjnijjiikjjjiniiniiiqQqqzZqyYqxXqqrFqqrFrF11111111)]([)()(9称为广义力)()(1eqzZqyYqxXQjiijiijiinij0)()()(111111jjikjniiijnijkjjiiikjjjniiiiiqqrdtvdmQqqramqQramF则)(),2,1(01fkjqrdtvdmQjiniiij广义惯性力10广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此)()(111jiniiijiiniijiniiiqrdtdvmqrvdtdmqrdtvdm为简化计算,需要用到以下两个关系式：jijijijiqvqrdtdqvqr;下面来推导这两个关系式：第一式只须将(b)式两边对求偏导数即可得到。jq11第二式可比较(a)式先对ql求偏导数再对t求导数与(b)式对ql求偏导数的结论得出。:,)()21()]21([)(1212111得式代入fqTqTdtdvmqvmqdtdqvvmqrvdtdmqrdtvdmjjniiijniijjiniiijiiniijiniiii),1,2,(kjQqTqTdtdjjj拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。12如果作用于质点系的力是有势力，则广义力可用质点系的势能来表达。jQ),1,2,()(),1,2,()(11kjqUQqzzUqyyUqxxUkjqzZqyYqxXQjjjiijiijiinijiijiijiinij而拉氏方程为：),1,2,(kjqUqTqTdtdjjj引入拉格朗日函数：L=T-U则：),1,2,(0)(kjqLqLdtdjj保守系统的拉格朗日方程。13应用拉氏方程解题的步骤：1.判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力，计算公式为：),1,2,(kjQj)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或jjjqWQ)(若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。14[例1]水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。所受约束皆为完整、理想、定常的，可取OA杆转角为广义坐标。rrRrvrRvAAA)(解：图示机构只有一个自由度152222222222222)(92121)(2121)(21)(3121212121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPIvgQITAAAO0;)(9261;)(926122)()(TrRgQPTdtdrRgQPTMWQMW16代入拉氏方程：g))(92(60)(926122rRQPMMrRgQP积分，得：2122))(92(3CtCgtrRQPM22))(92(3gtrRQPM故：代入初始条件，t=0时，得00,02100CC17[例2]与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2，试列出该系统的运动微分方程。解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x轴原点位于弹簧自然长度位置，逆时针转向为正。18cos2)sin()cos(222222lxlxllxvB系统动能：cos21)(21)cos2(2121212122222212222212221lxmlmxmmlxlxmxmvmxmTB19系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点）cos2122glmkxU拉格朗日函数：kxxLlmxmmxLglmkxlxmlmxmmUTL,cos)(cos21cos21)(2122122222222120sincos)(sinsin,cossincos)(22222222222221lxmlxmlmLdtdglmlxmLlxmlmLlmlmxmmxLdtd代入：0sincos0sincos)(),1,2,(0)(22221glxkxlmlmxmmkjqLqLdtdjj并适当化简得：kxxLlmxmmxLglmkxlxmlmxmmUTL,cos)(cos21cos21)(21221222222221210sincos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm系统的运动微分方程。00)(221glxkxlmxmm上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时1o,cos1,sin，略去二阶以上无穷小量，则22§17-3拉格朗日第二类方程的积分对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-U中不显含t，则23jjkjjjkjjjkjjjkjjqqLqLdtdqqLdtdqqLqqLdtdL)()(11110)(1LqqLdtdjkjj)(1常数CLqqLjkjj广义能量积分。保守系统的拉格朗日函数不显含时间t时，保守系统的广义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为024系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。)()(21常数CUTUTTLqqLjkjj二、循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标qr,则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。当为系统的循环坐标时，必有)(krqr0rqL于是拉氏方程成为0)(rrqLqLdtd25)()(krCqLr常数积分得：循环积分因L=T-U，而U中不显含，故上式可写成)()(常数CPqTUTqqLrrrrrqPr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。26[例3]楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为r，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为x,s；各坐标原点均在初始位置。27系统的动能：)(cos4321)(2121)cos2(21212222222asxgQsgQxgQPrsrgQsxsxgQxgPT系统的势能：取水平面为重力势能零点。)()cossin(31brshQPhU拉格朗日函数：)()cossin31cos432122crsQ(hPhsxgQsgQxgQPUTL28代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。sin2cos230cos)(gxssQxQP（d）解得楔形体的加速度为gQQPQx2sin232sin拉格朗日函数L中不显含t，故系统存在能量积分。29122)cossin(31cos4321CrshQPhsxgQsgQxgQPLqqLjj当t=0时，，x=s=0,代入上式中，得0sx)cos(311rhQPhC)(0sincos432122fsQsxgQsgQxgQP30由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故x为系统循环坐标，故有循环积分：2cosCsgQxgQPxTxLPx