理论力学第十章质点动力学教学

质点动力学动力学的任务动力学的任务：研究作用于物体的力和物体运动之间的一般关系.动力学的分类质点动力学质点系动力学动力学质点系--一群具有某种联系的质点称为质点系,刚体可以看成不变形的质点系。质点--是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。质点动力学基础质点运动微分方程质点动力学的基本问题质点的相对运动微分方程动力学的基本定律惯性定律－质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即作直线匀速运动或者静止。力与加速度关系定律－质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同,其大小与力成正比而与质量成反比。作用力与反作用力定律－任何两个质点相互作用的力,总是大小相等¸方向相反,沿同一直线同时并分别作用在这两个质点上。动力学的基本定律力的独立作用定律－几个力同时作用于一个质点时所引起的加速度,等于每个力单独作用于这个质点时所引起的那些加速度的矢量和。质点运动微分方程质点动力学基本方程以m代表质点的质量,以F代表该质点所受的力,a代表它在F作用下获得的加速度,则第二定律可以表示成ma=F即,质点的质量与加速度的乘积,按大小与方向,等于所受的力。上式称为质点动力学基本方程。设有可以自由运动质点M，质量是m，作用力的合力是F，加速度是a。这就是质点的运动微分方程的矢量形式22ddrmFt矢量形式xyzrMFaO把上式投影到固定直角坐标系Oxyz的各轴,得Fx,Fy,Fz是作用力F的合力法各轴上的投影.上式是质点运动微分方程的直角坐标形式.222222ddd,,dddxyzxyzmFmFmFttt直角坐标形式xyzrMFaO如采用自然轴系Mnb,并把上式向各轴投影,可得式中是加速度a在切线,主法线和副法线正向的投影;F,Fn和Fb是合力F在相应轴上的投影.上式式就是质点运动微分方程的自然形式.22nb2d,,0dτsvmFmFFt0,ddb2n22avatsaτ和22ddmtrFxyzrMFaOnτb自然形式质点动力学的基本问题由微分方程可以解决自由质点动力学的两类问题.第一类问题:已知运动,求力;第二类问题:已知力,求运动.●解决第一类问题,只需根据质点的已知运动规律r=r(t),通过导数运算,求出加速度,代入左边各式，即得作用力F.●求解第二类问题,是积分过程.必须注意,在求解第二类问题时,方程的积分中要出现积分常数,为了完全确定质点的运动,必须根据运动的初始条件定出这些积分常数.Fr22ddtmma=F22nb2d,,0dτsmFmFFtvzyxFtzmFtymFtxm222222dddddd质点动力学基本问题解题步骤根据题意适当选取某质点或物体作为研究对象。根据运动特点选取坐标系。若需要建立运动微分方程，应将质点放在一般位置进行分析，分析个运动量之间的关系。受力分析，画受力图。建立动力学方程组并求解。设电梯以不变的加速度a上升,求放在电梯地板上重G的物块M对地板的压力。解:将物体M看称自由质点,它受重力G和地板反力N的作用。ma=NG注意到m=G/g,则由上式解得)1(gaGagGGNMMNaGx例题1MMNaGx)1(gaGagGGN上式第一部分称为静压力，第二部分称为附加动压力，N'称为动压力。令gan1nGN则n＞1,动压力大于静力，这种现象称为超重。n＜1,动压力小于静力，这种现象称为失重。例题1磅秤指针如何变化？思考磅秤指针如何变化？思考单摆M的摆锤重G,绳长l,悬于固定点O,绳的质量不计.设开始时绳与铅垂线成偏角0≤/2,并被无初速释放.求绳中拉力的最大值.例题2解:任意瞬时,质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程22n22)dd(,ddltlaltlaτ)2(cos)1(sin2GNlgGGlgGOMM0φφ0OMM0φφ0NGanat例题2考虑到则式(1)化成对上式采用定积分,把初条件作为积分下限从而得把式(4)代入式(2),有N=G(3cos2cos0)显然,当质点M到达最低位置=0时,有最大值.故Nmax=G(32cos0)dd21dddddd2ttsindd212lgd)sin2()(d002lg)4()cos(cos202lg)2(cos)1(sin2GNlgGGlgGOMM0φφ0NGanat例题2粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。θ0n例题3θ视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。质点在上升过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。cosN2mgFRvmmgFNF解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即Rnv30πn例题3于是解得21N)cos(π30mgFmRRn当θ=θ0时，铁球将落下，这时FN=0，于是得0cos549.9Rgn显然，越小，要求n越大。当时，，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。0Rgn549.900θmgFNF例题3质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线由静止下落,受到空气阻力的作用.假定阻力R与速度平方成比例,即R=v2,阻力系数单位取kg/m,数值由试验测定.试求物体的运动规律.解:取坐标轴Ox铅直向下,原点在物体的初始位置.写出物体M的运动微分方程加速度为零时以m除式(1)两端,并代入u的值,得)1(dd2vmgtvmumgvxxRGv例题4分离变量,并取定积分,有由上式求解v,得)3(11)/()/()/()/()/2()/2(tugtugtugtugtugtugeeeeueeuv于是物体速度随时间而变化的规律为th是双曲正切)2()(dd222vuugtvtugvuvutvdd0022)()(thatuguv例题4于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律,只需把(3)再积分一次,有tugtugtugtugtxeeeegux)/()/()/()/(020][dd)()chln(2ln2)/()/(2bugtgueeguxugtugt例题4弹簧－质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。l0mkv0例题5解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。iixFxm0kxxm＋以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置x0处。物块在x方向只受有弹簧力F＝－kxi。根据直角坐标系中的质点运动微分方程xxOmkFl0m例题50kxxm＋mkxx20200,＋000,;00,)sin(vxtxttAx,tmkkmvxvAsin0000;,xxOmkFl0m例题5l0mkv0弹簧－质量系统，物块的质量为m,弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。例题6解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置x0处。xmkxOl0stFW物块在x方向只受有弹簧力F＝－kxi和重力W＝mgi。根据直角坐标系中的质点运动微分方程：iixFxm例题6kmgmgxkxmstst)(,＝－mkxx20200,＋iixFxm00,;00vxtxt,0,)sin(tAxtmkkmvxvAsin0000;,xmkxOl0stFW例题6l0mkv0l0xxOmkv0tmkkmvxvAsin0000;,1、重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。2、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程的影响，这一问题请同学们自己研究。计算结果分析非惯性参考系中的质点动力学基本方程设已知坐标系O1x1y1z1对于基础坐标系Oxyz进行着某种运动。以F和N代表作用于质点M的主动力和约束力对于基础坐标系Oxyz，有maa=F+N由运动学知，绝对加速度aa等于牵连加速度ae，相对加速度ar和科氏加速度aC三者的矢量和。即aa=ae+ar+aCMarxyzOaeaaakvr质点的相对运动微分方程则mar=F+N+FIe+FIC这就是质点的相对运动微分方程，又叫质点相对运动的动力学基本方程。FIe和FIC分别称为质点的牵连惯性力和科氏惯性力，通称为欧拉惯性力。得m(ae+ar+aC)=F+N令FIe=mae,FIC=maCaa=ae+ar+aC质点的相对运动微分方程MarxyzOaeaaakvr这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度.1.相对于平动坐标系的运动mar=F+N+FIe2.相对于惯性坐标系的运动mar=F+N设动坐标系O1x1y1z1本身在基础坐标系中作平动。在此情况下，没有科氏加速度和对应的科氏惯性力，故设动坐标系O1x1y1z1本身对于基础坐标系Oxyz作匀速直线运动。牵连加速度、科氏加速度都等于零，故讨论几种特殊情形质点在动坐标系中相对平衡，ar=0，有F+N+FIe+FIC=0即，当质点处于相对平衡(匀速直线运动)时，作用在质点的主动力，约束力和牵连惯性力、科氏惯性力组成平衡力系。质点在动坐标系中相对静止，vr=0，ar=0，则科氏加速度aC=0，科氏惯性力FIC也等于零。有F+N+FIe=0即，当质点处于相对静止时，作用在质点的主动力，约束力和牵连惯性力组成平衡力系。3.相对平衡和相对静止讨论几种特殊情形设车厢以匀加速度a沿水平直线轨道由静止开始向右行驶。求当车刚开时，由车厢棚顶M0处自由落下的质点M的相对运动。例题7解:取动坐标系O1x1y1z1固连车厢。因为动坐标系作直线平动,有mar=G+FIe(1)FIe=mae,方向与车厢加速度a相反把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程mgzmmaymxm111,,0即)2(,,0111gzayx例题7当t=0时,)3(0;,0111111zyxvvvhzyx把式(2)积分，并利用初始条件(3)确定积分变量，求得质点得相对运动规律为2121121,21,0gthzatyx消去时间t后，得到相对轨迹方程11yaghz这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。)2(,,0111gzayx根据所选坐标系，质点运动的初始条件写成例题7装在圆盘上的胶带的变形分析工程实例在北半球的南北向河流冲刷河岸分析工程实例在北半球的南北向河流冲刷河岸分析工程实例北半球向东发射炮弹偏右现象工程实例工程实例工程实例工程实例细管AB以匀角速度绕铅直轴O1z1转动,管内放一质量是m的光滑小球M.欲使小球在管内任何位置处于相对静止,或沿管作匀速相对运动,则细管应在铅直平面O1y1z1内弯成何种曲线?小球相对静止小球作匀速相对运动例题8解:设细管弯成图示形状.实际作用于小球的力有重力G和管壁的法向反力N.此外,当研究小球M相对与转动坐标系O1y1z1的运动时,还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力.小球牵连惯性力FIe的大小等于FIe=m2|y1|,其方向水平而背离铅直转轴O1z1。科氏惯性力FIC方向垂直于相对速度vr和转轴O1z1，即垂直于O1y1z1平面;当相对静止时,vr=0,因而FIC=0.My1z1O1cθABωGFIeNae例题8当小球相对于细管作匀速运动时,相对加速度ar的方向垂直于细管曲线的切线。mar=G+N+FIe+FIC投影到细管曲线的切线方向,