第56讲(理)

名师作业·练全能第五十六讲离散型随机变量的期望与方差班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．若随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的值为()ξ012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.920解析：由分布列性质得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝118，Eξ＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝209，故选C.答案：C2．一批零件有5个合格品和2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出一个，若每次取出的次品不再放回，取得合格品之前取出的次品数为ξ，则Eξ等于()A.221B.57C.521D.13解析：P(ξ＝1)＝2×57×6＝1042.P(ξ＝2)＝2×1×57×6×5＝242，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝3042∴Eξ＝1042×1＋242×2＋3042×0＝13.答案：D3．(2011·湖南示范高中联考)一次测验由25道选择题构成，每题选择正确得4分，不选或错选得0分，满分为100分，某学生选对任一题的概率是0.8，则该生在这次测试中成绩的期望和标准差分别是()A．80,8B．80,4C．70,4D．70,3解析：设选择正确的选择题个数为ξ，则测试的成绩为4ξ，E(4ξ)＝4Eξ＝4×25×0.8＝80(分)，D(4ξ)＝16Dξ＝16×25×0.8×(1－0.8)＝64，Dξ＝8.答案：A4．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，则D2ξEξ2等于()A．p2B．(1－p)2C．npD．p2(1－p)解析：应当熟记二项分布ξ的期望和方差的计算公式：Eξ＝np，Dξ＝npq，(q＝1－p)．因为ξ～B(n，p)，D2(ξ)＝[np(1－p)]2，(Eξ)2＝(np)2；所以，D2ξEξ2＝[np1－p]2np2＝(1－p)2.答案：B5．(2011·四川内江)已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝0)＝12，P(ξ＝－1)＝16，设随机变量η＝12ξ－1，则η的期望值为()A.16B．1C．2D．12答案：B6．若ξ为离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝23，P(ξ＝x2)＝13，且x1x2，又已知Eξ＝43，Dξ＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113解析：∵Eξ＝23x1＋13x2＝43，∴2x1＋x2＝4.①∵Dξ＝Eξ2－(Eξ)2＝23x12＋13x22－169＝29，∴2x12＋x22＝6.②由①②及x1x2可得x1＝1，x2＝2，所以，x1＋x2＝3.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知随机变量ξ～B(n，p)，若Eξ＝4，η＝2ξ＋3，Dη＝3.2，则P(ξ＝2)＝________(结果用数字表示)．解析：由已知条件可求得n＝5，p＝0.8，故P(ξ＝2)＝32625.答案：326258．(2011·杭州质检)某运动员投篮投中的概率P＝0.6，那么该运动员重复5次投篮，投中次数η的期望是________；方差是________．解析：服从二项分布，Eξ＝np＝3，Dξ＝npq＝1.2.答案：31.29．(2010·天津市和平区)由于电脑出现故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下：ξ123456P0.200.100.□50.100.1□0.20请你先将丢失的数据补齐，再求随机变量ξ的数学期望，其期望值为________．解析：本题考查随机变量的概率、期望．由题知，它们的概率的和为1，可以得到应填的数分别为2,5，然后根据期望Eξ＝i＝16xipi＝1×0.2＋2×0.1＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.2＝3.5答案：P3＝0.25，P5＝0.15，Eξ＝3.510．(2011·济南)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击次数ξ的数学期望为________．(用数字作答)解析：射击次数ξ的分布列为：ξ123P0.80.160.04Eξ＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.答案：1.24三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．解析：(1)ξ的分布列为：ξ01234P1212011032015∴Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2b＝－2或a＝－2，b＝4.即为所求．12．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛；第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ.解析：令Ak、Bk、Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝122＋122＝12，P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝123＋123＝14，P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝124＋124＝18，P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝125＋125＝116，P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4C5)＝125＋125＝116，故有分布列：ξ23456P121418116116从而Eξ＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716(局)．13．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝116，解得p＝34或p＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设和(1)知P(A)＝12，P(A－)＝12，P(B)＝34，P(B－)＝14.ξ可能的取值为0,1,2,3，故P(ξ＝0)＝P(A－)P(B－·B－)＝12×142＝132，P(ξ＝1)＝P(A)P(B－·B－)＋C21P(B)P(B－)P(A－)＝12×142＋2×34×14×12＝732，P(ξ＝3)＝P(A)P(B·B)＝12×342＝932，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1532.ξ的分布列为：ξ0123P1327321532932ξ的数学期望Eξ＝0×132＋1×732＋2×1532＋3×932＝2.