第83课时+二项式定理

第83课时二项式定理一、知识要点1.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(2.二项式通项公式：rrnrnrbaCT1（r=0,1,2,…,n）3.二项式系数的性质：nba)(的展开式的二项式系数有如下性质：（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。（2）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）nnnnnnnnnnCCCCCC212210（4）15314202nnnnnnnCCCCCC4.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an的性质：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1()1(ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1()1(ff⑸a0=f(0)⑹|a0|+|a1|+|a2|+|a3|……+|an|=?5.注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。（2）“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”之间的区别。自主复习1（湖北卷）在2431()xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项B．4项C．5项D．6项210)31(xx的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0（B）2（C）4（D）6解析：本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识；（1）7242431242431rrrrrrTCxCxx－－r＋＝（-）＝(-1)，当r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C；（2）1031xx的展开式通项为31010102121011()()()33rrrrrrCxCxx，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B；点评：多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。3（06江西卷）在（x－2）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于（）A.23008B.－23008C.23009D.－230094（06山东卷）已知2nixx的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2i=－1，则展开式中常数项是（）(A)－45i(B)45i(C)－45(D)455（06浙江卷）若多项式910102910102,)1()1()1(axaxaxaaxx则（）(A)9(B)10(C)－9(D)－10解析：（1）设（x－2）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006；则当x＝2时，有a0（2）2006＋a1（2）2005＋…＋a2005（2）＋a2006＝0（1），当x＝－2时，有a0（2）2006－a1（2）2005＋…－a2005（2）＋a2006＝23009（2），（1）－（2）有a1（2）2005＋…＋a2005（2）＝－230092＝－23008，，故选B；（2）第三项的系数为－2nC，第五项的系数为4nC，由第三项与第五项的系数之比为－143可得n＝10，则210110()()rrrriTCxx＝405210()rrriCx，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为8810()iC＝45，选A；（3）令2x，得10210921022aaaaa，令0x，得0109210aaaaa；点评：本题考查二项式展开式的特殊值法，基础题；典例剖析三、例题分析题型1二项式通项公式的应用【例1】.如果在（x+421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例1.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n，8)1(nn，由题意得2×2n=1+8)1(nn，得n=8.设第r+1项为有理项，T1r=Cr8·r21·x4316r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=835x，T9=22561x.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.【变式与拓展】．.求式子（｜x｜+||1x－2）3的展开式中的常数项.解法一：（｜x｜+||1x－2）3=（｜x｜+||1x－2）（｜x｜+||1x－2）（｜x｜+||1x－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取||1x，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x|+||1x－2）3=（||x－||1x）6.设第r+1项为常数项，则T1r=Cr6·（－1）r·（||1x）r·|x|r6=（－1）6·Cr6·|x|r26，得6－2r=0，r=3.∴T3+1=（－1）3·C36=－20.题型2组合和二项式知识的综合应用【例2】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数..解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C310a3C47·（－2b）4C33（－3c）3=C310C47C4332（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为－C310C47×16×27【变式与拓展】.（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=xx114（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C46－1=14.（2）（x+x4－4）4=442)44(xxx=48)2(xx，展开式中的常数项为C4482·（－1）4=1120.（3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483xxx=xxx351)1()1(.展开式中x3的系数为C451.方法二：原展开式中x3的系数为C33+C34+C35+…+C350=C44+C34+…+C350=C45+C35+…+C350=…=C451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.题型3二项式定理和数列的综合应用【例3】.设an=1+q+q2+…+q1n（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2+…+Cnnan.（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3q1时，求limnnnA2.例3.解：（1）因为q≠1，所以an=1+q+q2+…+q1n=qqn11.于是An=qq11C1n+qq112C2n+…+qqn11Cnn=q11［（C1n+C2n+…+Cnn）－（C1nq+C2nq2+…+Cnnqn）］=q11{（2n－1）－［（1+q）n－1］}=q11［2n－（1+q）n］.（2）nnA2=q11［1－（21q）n］.因为－3q1，且q≠－1，所以0|21q|1.所以limnnnA2=q11.题型4二项式定理在整除方面的应用【例4】（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；解析：（1）首先考虑4·6n+5n+1被4整除的余数。∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1，∴其被4整除的余数为1，∴被20整除的余数可以为1，5，9，13，17，然后考虑4·6n+1+5n+1被5整除的余数。∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)，∴被5整除的余数为4，∴其被20整除的余数可以为4，9，14，19。综上所述，被20整除后的余数为9。变式（1）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？变式（2）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。①精确到0.01；②精确到0.001。变式（1）解：7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7=(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1(i)当n为奇数时原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+（－1）n-1Cnn-1·9－2∴除以9所得余数为7。(ii)当n为偶数时原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9∴除以9所得余数为0，即被9整除。变式（2）(1.02)5≈（1+0.02）5=1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5∴①当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10。②当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值为1.104。点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；（2）用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。能力训练选择题1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.（2004年福建，文9）已知（x－xa）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是()(A)－5(B)5(C)－10(D)104.(05山东)如果3213nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（）（A）7（B）7（C）21（D）215.(05重庆卷)8.若nxx12展开式中含21x项的系数与含41x项的系数之比为5，则n等于()(A)4；(B)5；(C)6；(D)10。6.(05重庆卷)在(12x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于()(A)5；(B)7；(C)9；(D)11。填空题7.（05全国卷Ⅰ）9)12(xx的展开式中，常数项为。（用数字作答）8.（2004年全国Ⅳ，13）（x－x1）8展开式中x5的系数为_____________.9.（2004年湖南，理15）若（x3+xx1）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.10.已知（xxlg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.11.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.12.在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围.13.求证：2（1+n1）n3（n≥2，n∈N*）.14设函数),1,(11)(NxnNnnxfn且。（Ⅰ）当x=6时，求nn11的展开式中二项式系数最