第5章弯曲

1第5章弯曲武汉大学李刚一、教学目标掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。二、教学内容弯曲变形的量度及符号规定；挠曲线近似微分方程及其积分；计算弯曲变形的两种方法；用变形比较法解简单的超静定梁三、重点难点梁的变形分析。挠曲线近似微分方程。积分法求梁的变形。叠加法求梁的变形。用变形比较法解简单超静定梁。四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时4学时2六、实施学时七、讲课提纲回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。本章弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。研究弯曲变形的目的★刚度计算；★解简单的超静定梁。本章的基本内容★弯曲变形的量度及符号规定；★挠曲线近似微分方程及其积分；★计算弯曲变形的两种方法；★用变形比较法解简单的超静定梁。（一）、弯曲变形的量度及其符号规定1、度量弯曲变形的两个量：⑴挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）3图8-1⑵转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。2、符号规定：⑴坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。⑵挠度的符号规定：向上为正，向下为负。⑶转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。（二）、挠曲线近似微分方程及其积分1、挠曲线在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。4图8-22、挠曲线近似微分方程数学上：曲线的曲率与曲线方程间的关系22)(1)(dxdxxK材力上：挠曲线的曲率与梁上弯矩和抗弯刚度间的关系EIxMxxK)()(1)(显然，挠曲线的曲线方程与梁的弯矩刚度间的关系可以用下式表示：22dxdEIxM)(这个等式称为挠曲线近似微分方程近似解释：⑴忽略了剪力的影响；⑵由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。3、挠曲线近似微分方程的积分⑴转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：))((1)(cdxxMEIdxdx再积分一次，得挠曲线方程：DcxdxxMEIx))((1)(⑵积分常数的确定及其物理意义和几何意义①积分常数的数目——取决于)(xM的分段数)(xM——n段积分常数——2n个5举例：图8-3)(xM分2段，则积分常数2x2=4个②积分常数的确定——边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。③积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：积分常数2n个=2n个边界条件连续条件图8-3所示的例题中：边界条件：00AA连续条件：右左右左BBBB6例题：列出图8-4所示结构的边界条件和连续条件。图80-4解：边界条件：000CAA连续条件：右左右左右左BBDDDD④积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得oEIC即坐标原点处梁的转角o，它的EI倍就是积分常数C；oEID即坐标原点处梁的挠度o的EI倍就是积分常数D。几何意义：C——转角D——挠度举例：0A0C0A0C0A0C70A0D0A0D0A0D22lFCp63qlClmCo33lFDp84qlD22lmDo162lFCp243qlC3lmCo0D0D0D（三）、计算弯曲变形的两种方法1、积分法——基本办法利用积分法求梁变形的一般步骤：⑴建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；⑵分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次；⑶利用边界条件，连续条件确定积分常数；⑷建立转角方程和挠曲线方程；⑸计算指定截面的转角和挠度值，特别注意max和max及其所在截面。8积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁B、B、C、C：图8-5解：⑴分段建立弯矩方程AB段：8)(21qlxM（0x1≤2l）BC段：)2(21)2(8)(2222lxlxqqlxM222)2(28lxqql（lxl22）⑵分段建立近似微分方程，并对其积分两次AB段：EIxMdxd)(12112即：8)(211qlxMEI1111)()(cdxxmEIxEI1128cxql─────────────────⑴111111)((DxcdxdxxMEIxEI）911121216Dxcxql───────────────⑵BC段：22222)2(28)(lxqqlxMEI2322222)2(68)(clxqxqlEIxEI─────────────⑶2224222222)2(2416)(DxclxqxqlEIxEI──────────⑷⑶利用边界条件、连续条件确定积分常数由边界条件确定C1、D1：当01x时，0A，由（1）式得C1=0；当01x时，0A，由（2）式得D1=0。由连续条件确定C2、D2：当212lxx时，)()(12xx，即联立⑴、⑶式子：23212)22(62828CllqlqlClql得021CC当212lxx时，)()(12xx，即联立⑵、⑷式：1122224222)2(162)22(24)2(16DlClqlDlCllqlql得D2=0⑷分段建立转角方程、挠曲线方程：AB段：1218)(xqlxEI──────────────────────⑸212116)(xqlxEI──────────────────────⑹BC段：32222)2(68)(lxqxqlxEI──────────────────⑺422222)2(2416)(lxqxqlxEI─────────────────⑻10⑸求梁指定截面上的转角和挠度当21lx时，由⑸式得，EIqlB163；由⑹式得，EIqlB644当lx2时，由⑺式得，EIqllqqlEIc485)2(681333；由⑻式得，EIqllqlqlEIc38423)2(24)(16144222、叠加法——简捷方法记住梁在简单荷载作用下的变形——挠曲线方程、转角、挠度计算方式。叠加法的两种处理方法：⑴荷载叠加图10-6⑵变形叠加图8-71121CCC)2(222lBBC荷载叠加法求梁变形举例：图8-8⑴求Bq、Bq（图8-8，b）)64(24222llxxEIqxEIxqlEqlxEIqx426242334∴EIxqlEIqlxEIqxdxd226223则EIlqlEIlqlEIlqBq4)2(6)2(24)2(2234EIql384174EIlqlEIlqlEIlqBq2)2(2)2(6)2(223EIql487312⑵求cq、cq（图8-8，b）EIqlcq63EIqlcq84⑶求qB、qB（图8-8，c）EIqlEIlqqB1288)2(44EIqlEIlqqB486)2(33⑷求qc、qc（图8-8，c）EIqlqBqc483，qBqBqcl2EIqllEIql12824843=EIql38474最后：求B、B、C、CEIqlqlEIEIEIqlEIqlqBBqB1927)384338417(128384174444)(EIqlEIqlEIqlqBBqB848487333EIqlEIqlEIqlEIqlqccqc38441)748(384384784444)(EIqlEIqlEIqlEIqlcqccq487)18(48486333313（四）、用变形比较法解简单超静定梁1、超静定的概念2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：⑴解除多余约束，变超静定梁为静定梁；⑵用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程；⑶通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。3、简单超静定梁求解举列。求图示梁的FQ、M图图8-9(a)示结构为简单（一次）超静定梁图8-9(a)解：⑴选基本静定梁图8-9(b)解除c端约束，代之以约束力Fc图8-9(b)⑵建立变形协调条件0cFcqc⑶采用荷载叠加法，并对原梁做如下图8-9(c)等效变换：14图8-9(c)此时的变形协调条件可以写成：0qccFcqc─────────────────────⑴查表得：EIqlqc84EIFclccF3326)2(8)2('34lEIlqEIlqqcEIql38474将查表所得结果代入⑴式，解出qlqlFc32.012841⑷求A端的约束反力⑸作该梁的FQ、M图1516用变形比较法解超静定梁举例两端固定的水平梁AB，在其左端转动了一个微小角度θ，如图所示，试求其约束反力。图8-10解：⑴解除A端约束，使超静梁变成静定梁——基本静定梁⑵把解除的多余约束用约束反力来代替：⑶列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形的计算式：在MA的作用下，EIlMAA22EIlMAA在FA的作用下，EIlFAA33''EIlFAA22''并与原超静定梁在该约束处的变形进行比较，建立变形协调方程，求出多余约束反力：17比较：0AA则02323EIlMEIlFAA───────────────────────⑴EIlFEIlMAA22───────────────────────⑵联立解⑴、⑵式，得lEIMA4；26lEIFA