第5章误差基本知识

1•测量误差及其产生的原因•测量误差的分类与处理原则•偶然误差的特性•精度评定的指标•误差传播定律及其应用第五章测量误差基本知识本章主要内容如下：2一、观测误差当对某观测量进行观测，其观测值与真值(客观存在或理论值)之差，称为测量误差。用数学式子表达：△i=Li–X(i=1,2…n)L—观测值X—真值§5-1测量误差概述1、仪器的原因①仪器结构、制造方面，每一种仪器具有一定的精确度，因而使观测结果的精确度受到一定限制。二、测量误差的来源测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：3例如：DJ6型光学经纬仪基本分划为1′，难以确保分以下估读值完全准确无误。使用只有厘米刻划的普通钢尺量距，难以保证厘米以下估读值的准确性。②仪器构造本身也有一定误差。例如：水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i角误差或交叉误差。水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。42、人的原因观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来不同程度的影响。人、仪器和外界环境通常称为观测条件；观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。3、外界条件例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素的变化，均使观测结果产生误差。例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置不稳定等。5三、测量误差的分类先作两个前提假设：①观测条件相同.②对某一量进行一系列的直接观测在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。6•先看两个实例：例1：用名义长度为30米而实际长度为30.04米的钢尺量距。丈量结果见下表5-1：表5-1尺段数一二三四五···N观测值306090120150···30n真实长度30.0460.0890.12120.16150.20···30.04n真误差-0.04-0.08-0.12-0.16-0.20···-0.04n可以看出：误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。7例2：•在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。•大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出：①从个别误差来考察，其符号、数值始终变化，无任何规律性。②多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。81.系统误差----在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差具有规律性。2.偶然误差---在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，为种误差称为“偶然误差”。个别偶然误差虽无规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3.粗差----观测中的错误叫粗差。例如：读错、记错、算错、瞄错目标等。错误是观测者疏大意造成的，观测结果中不允许有错误。一旦发现，应及时更正或重测。引进如下概念：9(二)测量误差的处理原则•在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。•系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。•对可能存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。•消除系统误差的常用的有效方法：•①检校仪器：使系统误差降低到最小程度。•②求改正数：将观测值加以改正，消除其影响。•③采用合理的观测方法：如对向观测。•研究偶然误差是测量学的重要课题。•消除或削弱偶然误差的有效方法：•①适当提高仪器等级。•②进行多余观测，求最或是值。10四、偶然误差的特性若△i=Li–X（i=1,2,3,···,358）负误差正误差合计误差区间d△（″）个数k频率k/n个数k频率k/n个数k频率k/n0～33～66～99～1212～1515～1818～2121～24＞244540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01104641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.006091816644332611600.2450.2270.1840.1230.0920.0720.0310.0170∑1810.5051770.4953581.000表5-211从表5-2中可以归纳出偶然误差的特性•⑴在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；•⑵绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；•⑶绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；•⑷当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零。•用公式表示为：••实践表明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大时，这种特性就表现得愈明显。0limlim21nnnnn为了直观地表示偶然误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(图5-1)。12-24-21-18-16-12-9-6–30+3+6+9+12+15+18+21+24x=△图5-1频率直方图dnk/)(/频率nk13若误差的个数无限增大(n→∞)，同时又无限缩小误差的区间d△，则图6-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”，它完整地表示了偶然误差出现的概率P。即当n→∞时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。正态分布曲线的数学方程式为:(5-3)为标准差，标准差的平方为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：nnnnn2222212limlimefy221)(22nnnnlimlim22)45()55(14•从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:•1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三特性。•2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值;反之，△愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△)→0,这就是偶然误差的第一和第二特性。•3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐点横坐标：△拐=±•如果求f(△)在区间±的积分，则误差出现在区间内的相对次数是某个定值，所以当愈小时，曲线将愈陡峭，即误差分布比较密集；当愈大时，曲线将愈平缓，即误差分布比较分散。由此可见，参数的值表征了误差扩散的特征。efy221)(2215f(△)+σ-σ111√2πσ1△-σ+σf(△)△2+σ-σ2√2πσ12√2πσ116观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数；观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数；具有较小的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋势迅速下降；具有较大的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：21efy221)(2217§5-2衡量观测值精度的标准XniiXXnX101niiXnX110XXXii1nnXXXi一、平均误差平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差，记为当n较大时，可用下式估算为：算术平均误差的大小在一定程度上反映了一组观测值误差分布情况，算术平均误差越小说明误差越集中，观测的质量越好；反之，算术平均误差越大说明误差越分散，观测的质量越差。18§5-2衡量观测值精度的标准二.中误差误差△的概率密度函数为：标准差nΔΔmef221)(22nnnnlimlim2在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精度，一般采用下述误差公式：①标准差σ中误差m的不同在于观测个数n上；②标准差表征了一组同精度观测在(n→∞)时误差分布的扩散特征，即理论上的观测指标；③而中误差则是一组同精度观测在为n有限个数时求得的观测精度指标；④所以中误差是标准差的近似值估值；⑤随着n的增大，m将趋近于σ。19必须指出：同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差，而标准差的估计值即为中误差。同精度观测值具有相同的中误差。例3:设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为第一组：+3″,-2″,-4″,+2″,0″,-4″,+3″,+2″,-3″,-1″；第二组：0″,-1″,-7″,+2″,+1″,+1″,-8″,0″,+3″,-1″.试求这两组观测值的中误差。由解得：m1=±2.7″m2=±3.6″可见：第一组的观测精度较第二组观测精度高。nm20三、容许误差（极限误差）根据正态分布曲线，误差在微小区间d△中的概率：p(△)=f(△)·d△设以k倍中误差作为区间，则在此区间误差出现的概率为：分别以k=1,2,3代入上式，可得：P(︱△︱≤m)=0.683=68.3℅P(︱△︱≤2m)=0.955=95.5℅P(︱△︱≤3m)=0.997=99.7℅由此可见：偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5℅，而大于3倍的误差仅占误差总数的0.3℅。由于一般情况下测量次数有限，3倍中误差很少遇到，故以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“容许误差”，或称为“限差”即△容=2mkmkmdfkmP)()(21四、相对误差在某些测量工作中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。例如:用钢卷尺量200米和40米两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的，因为量距的误差与其长度有关。为此，用观测值的中误差与观测值之比的形式来描述观测的质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即。上例为K1=m1/L1=1/10000,K2=m2/L2=1/2000可见:前者的精度比后者高。与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差都称为绝对误差。N122§5-3误差传播定律•若Z=F（x1,x2,x3,···，xn）•式中xi(i=1,2,3,···，n)为独立观测值，其中误差为mi(i=1,2,3,···，n),求观测值函数的中误差mz。当观测值xi分别具有真误差△xi时，则函数z也随之产生相应的真误差△z。•由数学分析可知，变量与函数的之间的误差关系可近似用函数的全微分表达，即222222122)()()(21nxFxFxFzmmmmnnniiinnxxFxxFxxFzdzdxzxzxdxxFdxxFdxxFdz22112211,即：、代替上式中的、均很小，所以可用、由于23•一般函数：•倍数函数：•和差函数：••线性函数：一、误差传播定律主要公式2222221221)()()(),,,(21nxfxfxfznmmmmxxxfznxzkmmkxz2222121nznmmmmxxxz22222221212211nnznnmkmkmkmxkxkxkz24二、误差传播定律的应用•应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下述步骤进行：•1、按问题性质先列出函数式：•2、对函数式进行全微分，得出函数真误差与观测值真误差之间的关系式•3、将真误差形式转换成中误差形式•注意：各观测值之间必须互相独立。),,,(21nxxxfznnnnxxFxxFxxFzdxxFdxxFdxxFdz22112211即：22