第5讲数形结合思想在解题中的应用

长沙市第七中学孙贤忠第页第5讲数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()xy214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于kkkxxx310322分析：0)(32)(2xfxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0yfxf的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f，()()02bffka10(10)kk同时成立，解得，故，例2.解不等式xx2长沙市第七中学孙贤忠第页解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()IxxxxIIxx02020202解，得；解，得()()IxIIx0220综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}xxxxx200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象yxyxxxyx121222在的上方的那段对应的横坐标，yx2如下图，不等式的解集为{|}xxxxAB而可由，解得，，，xxxxxBBA222故不等式的解集为。{|}xx22例3.已知，则方程的实根个数为01aaxxa|||log|()A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxxa|||log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例4.如果实数、满足，则的最大值为xyxyyx()()2322ABCD....1233323分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()xy2322圆心为，，半径，如图，而则表示圆上的点，与坐()()()20300ryxyxxy标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A长沙市第七中学孙贤忠第页在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最AOA大值为°tg603例5.已知，满足，求的最大值与最小值xyxyyx22162513分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用yxxy31625122构造直线的截距的方法来求之。令，则，yxbyxb33原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，xy22162513且在轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小yxbxy31625122截距。yxbxyxbxb316251169961640002222由，得±，故的最大值为，最小值为。01331313byx长沙市第七中学孙贤忠第页例6.若集合，，集合，MxyxyNxyyxb()cossin(){()|}330且≠，则的取值范围为。MNb分析：MxyxyyM{()|}()，，，显然，表示以，为圆心，2290100以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为，由图形易知，欲使≠，即是使直线与半圆有公共点，bMNyxb显然的最小逼近值为，最大值为，即bb332332例7.点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为MxyFN221251612MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）ABCD....32248分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），则，而||||MFMFaa1225||||MFMF1228，∴又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴×||||ONMF1212842②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。例8.已知复数满足，求的模的最大值、最小值的范围。zziz||222分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的|||()|ziziz2222点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应点2+2i|()|ziz222长沙市第七中学孙贤忠第页Zzz，在以，为圆心，半径为的圆上，如下图，而表示复数对应的()()||222点到原点的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，ZOZCOz||||||minmaxzz232，，∴的取值范围为，||[]z232例9.求函数的值域。yxxsincos22解法一（代数法）：则得yxxyxyxsincoscossin2222，sincossin()xyxyyxy221222，∴，而sin()|sin()|xyyx22112∴，解不等式得||22114734732yyy∴函数的值域为，[]473473解法二（几何法）：yxxyyyxxsincos222121的形式类似于斜率公式yxxPPxxsincos()(cossin)22220表示过两点，，，的直线斜率221Pxy由于点在单位圆上，如图,显然，kykPAPB00设过的圆的切线方程为Pykx022()长沙市第七中学孙贤忠第页则有，解得±||22114732kkk即，kkPAPB00473473∴473473y∴函数值域为，[]473473例10.求函数的最值。utt246分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法tttm24转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设，，则xtytuxy246且，xyxy2221604022()所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在uyxuxy22216第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）umin22相切于第一象限时，u取最大值yxuxyxuxu2222216342160解，得±，取uu2626∴umax26三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。长沙市第七中学孙贤忠第页四、强化训练见优化设计。【模拟试题】一、选择题：1.方程lgsinxx的实根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数yaxyxa||与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.()1，B.()11，C.(][)，，11D.()()，，113.设命题甲：03x，命题乙：||x14，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.适合||z11且argz4的复数z的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.4个5.若不等式xaxa()0的解集为{|}||xmxnmna，且，2则a的值为（）A.1B.2C.3D.46.已知复数zizzz121232，，则||||的最大值为（）A.102B.5C.210D.2227.若x()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2]D.[1，2]8.定义在R上的函数yfx()()在，2上为增函数，且函数yfx()2的图象的对称轴为x0，则（）A.ff()()13B.ff()()03C.ff()()13D.ff()()23长沙市第七中学孙贤忠第页二、填空题：9.若复数z满足||z2，则||zi1的最大值为___________。10.若fxxbxc()2对任意实数t，都有ftft()()22，则ff()()13、、f()4由小到大依次为___________。11.若关于x的方程xxm245||有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。12.函数yxxxx2222613的最小值为___________。13.若直线yxm与曲线yx12有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。三、解答题：14.若方程lg()lg()[]xxmx23303在，上有唯一解，求m的取值范围。15.若不等式412xxax()的解集为A，且Axx{|}02，求a的取值范围。16.设aa01且≠，试求下述方程有解时k的取值范围。log()log()aaxakxa222