第6章常微分方程(自测题答案)

第1页共3页《高等数学》单元自测题答案第六章常微分方程一、填空题：1、Cxy2arcsin；2、xxycos1sinln；3、xxxeCeCy21。二、选择题：1、B；2、A；3、B。三、求下列微分方程的通解：1、解分离变量得xdxyydysin1cos，两边同时积分xdxyydysin1cos，即xdxyydsin1)1(sin。所以，Cxy2)sin1ln(，其中C是任意常数。2、解令xyu，则uxy，dxduxudxdy，代入方程得uedxduxuu，即uedxdux。所以，xdxeduu，解得1lnCxeu，从而Cxexyln，其中C是任意常数。3、解方程变形为2)2(22xxydxdy，所以，可得Cdxxeeydxxdxx2)21()21()2(2])2)[(2()2(22122)2ln(CxxCdxxxex，其中C是任意常数。4、解方程对应的齐次方程为0yy特征方程为02rr解得特征根为1,021rr所以，齐次方程的通解为xeCCy211，其中21,CC为任意常数。设xecbxaxy)(2*是非齐次方程的特解，则xecbxbaaxy)]()2([2*xecbaxbaaxy)]22()4([2*第2页共3页代入非齐次方程化简得222232)26(2xcbaxbaax比较系数得023202622cbabaa，解得2731cba．所以，xexxy)273(2*．从而，非齐次方程的通解为xxexxeCCy)273(221．5、解方程对应的齐次方程为0yy．特征方程为012r．解得11r，12r．所以，齐次方程的通解为xxeCeCy211，其中21,CC为任意常数．设xbxbxaxaysin)(cos)(1010*是非齐次方程的特解，则xbaxaxbaxbysin)(cos)(010100*xabxbxabxaysin)2(cos)2(010100*代入原方程化简得xxxabxbxabxasinsin)222(cos)222(010100所以，xabxbabxa0101002220222。比较系数得0221202202010100abbaba，解得0212101010bbaa。所以，)sin(cos21sin21cos21*xxxxxxy．从而，原方程的通解为)sin(cos2121xxxeCeCyxx。第3页共3页四、应用题：1、已知曲线)(xyy经过原点，且在原点处的切线与直线062yx平行，而)(xy满足微分方程052yyy，求该曲线的方程.解由题意知，0)0(y，2)0(y。微分方程052yyy的特征方程为0522rr,解得特征根为ir212,1。所以，方程的通解为)2sin2cos(21xCxCeyx。又由0)0(y得，01C。由2)0(y，且]2sin)2(2cos)2[(1221xCCxCCeyx知，2221CC。解得12C。从而可得曲线方程为xeyx2sin.2、设连续函数)(xy满足方程xxedttyxy0)()(，求)(xy。解方程两边同时对x求导：xexyxy)()(，即xeyy。所以，)(][][)(CxeCdxeeeCdxeeexyxxxxxdxdx。