浙江省杭州市-九年级(上)期末数学试卷(含答案)

第1页，共15页2017-2018学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知AB=2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A.√5−12B.√5−1C.3−√52D.3−√52.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则𝐵𝑂𝐴𝑂的值为（）A.sin2𝛼B.cos2𝛼C.tan2𝛼D.tan−2𝛼3.下列事件中，属于必然事件的是（）A.打开电视机正在播放广告B.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C.任意画一个三角形，其内角和为180∘D.任意一个二次函数图象与x轴必有交点4.函数y=x2+2x-4的顶点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线𝑦=𝑘(𝑥+1)(𝑥−2𝑘)与x轴交于点A（-1，0），B（2𝑘，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；1+√52；②1−√52；③43；④2．则本题满足条件的k的值为（）A.①②④B.①③④C.②D.①②③④6.如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A.18∘B.36∘C.54∘D.72∘第2页，共15页7.如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（）A.6B.6√2C.8D.8√28.已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A.𝑦1𝑦2𝑦3B.𝑦3𝑦2𝑦1C.𝑦1𝑦3𝑦2D.𝑦3𝑦1𝑦2二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=23，则tanB=______．10.若函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．11.如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC=______．12.若7x=3y，则𝑥𝑦=______．13.如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）14.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）15.如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的第3页，共15页海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）16.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．17.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y=x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．18.如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD=h为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．第4页，共15页19.已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c-2，y在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值．20.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．第5页，共15页答案和解析1.【答案】B【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=×2=-1．故选：B．根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长度．本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．2.【答案】C【解析】解：连接AD，BD，∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD=α，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠ODB+∠OBD=90°，∴∠ODB=∠BAD=α，在Rt△AOD中，AO==，在Rt△BOD中，OB=OD•tan∠ODB=OD•tanα，∴==tan2α．故选：C．首先连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=α，又由AB是半圆的直径，可得∠ADB=90°，然后根据同角的余角相等，求得∠ODB=∠BAD=α，再利用三角函数的定义，求得OB与OA，继而可求得的值．此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．第6页，共15页3.【答案】C【解析】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次，是随机事件，故此选项错误；C、意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项正确；D、任意一个二次函数图象与x轴必有交点，是随机事件，故此选项错误；故选：C．直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．此题主要考查了随机事件，正确把握相关事件的定义是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵y=x2+2x-4=（x+1）2-5，∴抛物线顶点坐标为（-1，-5），∴顶点在第三象限，故选：C．把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】B【解析】解：如图由题意A（-1，0），C（0，-2），B（，0）．第7页，共15页①当CA=CB时，B（1，0），即=1，k=2；②当AC=AB′=时，B′（-1，0），即=-1，k=；③当B″A=B″C时，（+1）2=4+（）2，解得k=，故选：B．画出图形分三种情形分别求解即可．本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=36°，∴∠AOB=72°，故选：D．根据圆周角定理计算即可；本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.【答案】B【解析】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE=BE，CF=DF，∠OFP=∠OEP=90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，∴∠FPE=90°，OB=10，BE=8，∴四边形OEPF是矩形，OE=6，同理可得，OF=6，∴EP=6，∴OP=，故选：B．根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．第8页，共15页本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-2，∵a=-2＜0，∴x=-2时，函数值最大，又∵1到-2的距离比-4到-2的距离大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．求出抛物线的对称轴为直线x=-2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．9.【答案】2√55【解析】解：如图，因为sinB==所以设AC=2a、AB=3a，则BC==a，所以tanB===，故答案为：．由sinB==可设AC=2a、AB=3a，利用勾股定理求得BC=a，继而根据正切函数的定义可得．第9页，共15页本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的定义．10.【答案】-2或2或3【解析】解：∵函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a-2）（a+1）=0，解得：a1=-2，a2=3，当函数为一次函数时，a-2=0，解得：a=2．故答案为：-2或2或3．直接利用抛物线与x轴相交，b2-4ac=0，进而解方程得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．11.【答案】32425【解析】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF=DC，OF=OC，∴OD垂直平分线段CF，∴CK=KF==，OK==，∵OB=OC，CK=KF，∴BF=2OK=，∵BC是直径，∴∠BFC=90°，∵∠CBH=90°，∴∠CBF+∠FCB=90°，∠HBF+∠FBC=90°，∴∠HBF=∠FCB，∵∠BFH=∠BFC=90°，∴△BFH∽△CFB，∴BF2=CF•FH=．第10页，共15页故答案为．连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．12.【答案】37【解析】解：7x=3y两边都除以7y得，=．故答案为：．等式两边都除以7y即可得解．本题考查了比例的性质，主要是两内项之积等于两外项之积的应用，比较简单．13.【答案】3√3【解析】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠D=∠CBD，∴CD=CB=6，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴EC=BC•sin60°=3，故答案为3．首先证明∠D=∠CBD=30°，推出CD=CB=6，在Rt△ECB中，根据EC=BC•sin60°即可解决问题．第11页，共15页本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】解：（1）设AP=x．∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当𝐴𝐷𝑃𝐵=𝑃𝐴𝐵𝐶时，28−𝑥=𝑥6，解得x=2或8．②当𝐴𝐷𝐵𝐶=𝑃𝐴𝑃𝐵时，26=𝑥8−𝑥，解得x=2，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或8；（2）设PA=x，∵△ADP∽△BPC，∴𝐴𝐷𝐵𝑃=𝐴𝑃𝐵𝐶，∴𝑎𝑚−𝑥=𝑥𝑏，整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，∴m2-4ab≥0．∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．【解析】（1）分两种情形构建方程求解即可；（2）由△ADP∽△BPC，可得=，即=，整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，即可解决